第一章 计数原理 章末整合提升（一）-2020-2021学年高中数学选修2-3【导学教程】同步辅导（人教A版）word

答案　①排列数公式　②组合数公式　③组合数性质 ④通项公式　⑤二项式系数性质 　(1)如图所示，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可提供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多的栽种方案有 A.180种　　B.240种　　C.360种　　D.420种 (2)有3封信，4个信箱，如果把3封信都寄出，寄信方法有________种. 【解析】　(1)由题意知，最少用三种颜色的花卉，按照花卉选种的颜色可分为三类方案，即用三种颜色，四种颜色，五种颜色. ①当用三种颜色时，花池2，4同色和花池3，5同色，此时共有A种方案. ②当用四种颜色时，花池2，4同色或花池3，5同色，故共有2A种方案. ③当用五种颜色时有A种方案. 因此所有栽种方案为A＋2A＋A＝420(种). (2)分3步完成寄出3封信的任务：第一步，寄出1封信，有4种方法；第二步，再寄出1封信，有4种方法；第三步，寄出最后1封信，有4种方法，完成任务，根据分步乘法计数原理，共有4×4×4＝43＝64种寄信方法. 【答案】　(1)D　(2)64 ●规律总结[来源:Zxxk.Com] 1.使用两个原理解决问题的思路 (1)选择使用两个原理解决问题时，要根据我们完成某件事采取的方式而定，确定是分类还是分步，要抓住两个原理的本质. 　(2)分类加法计数原理的关键是“类”，分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法. (3)分步乘法计数原理的关键是“步”，分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；其次，分步时还要注意满足完成一件事必须并且只有连续完成这n个步骤后，这件事才算完成，只有满足了上述条件，才能用分步乘法计数原理. 2.使用两个原理解决问题时应注意的问题 (1)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰. (2)当两个原理混合使用时，一般是先分类，在每类方法里再分步. 1.直接法(特殊元素、位置优先考虑法) 　分配5人完成5种不同的工作，如果甲不能完成第一种工作，乙不能完成第二种工作，那么共有多少种分配方法？ 【解析】　先满足特殊元素，即甲和乙分别不能完成第一和第二种工作，分三种情况： 第一类：甲、乙分别完成后三种工作中的一种，有AA种； 第二类：甲完成第二种工作，乙完成后三种工作中的一种，有CA种；[来源:学#科#网] 第三类：乙完成第一种工作，甲完成后四种工作中的一种，有CA种. 由分类加法计数原理知，不同的分配方法共有AA＋CA＋CA＝78(种). ●规律总结 用直接法解排列组合问题的策略 (1)特殊元素分析法：即以元素为主考虑，先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. (2)特殊位置分析法：即以位置为主考虑，先安排有特殊要求的位置，再考虑其他位置. 2.捆绑法 　老师和学生共10人一起照相，其中1名老师、4名女生、5名男生，排成一行，要求男生、女生必须分性别站在一起，并且老师不站在两端，那么不同站队方式有______种. 【解析】　要求男生、女生必须分性别站在一起，可以考虑采用捆绑法，把男生和女生分别看成一个大元素进行处理.男生站在一起看成一个大元素，女生站在一起看成一个大元素，老师不站在两端，共有A种排列.但4名女生、5名男生本身还有排列顺序要求.所以共有A·A·A＝5 760种站队方式. 【答案】　5 760 ●规律总结 运用捆绑法的要点 “捆”的策略就是对元素进行整体处理的形象化描述，体现数学的整体思想.对于以“某些元素必须相邻”为附加条件的排列组合问题，只要把必须相邻的元素“捆”成一个整体，再考虑相邻元素内部的排列或组合，就能保证这些元素相邻而不散乱. 3.插空法 　一条长椅上有七个座位，四人坐，要求三个空位中，有两个空位相邻，另一个空位与这两个相邻空位不相邻，共有几种坐法？ 【解析】　把两个相邻空位看成一个整体，另一个空位与这个整体不相邻，则是用四个人把两个元素隔开的典型问题，基于这种考虑，就可先让四人坐在四个位置上，再让后两个“元素”(一个是两个作为一个整体的空位，另一个是单独的空位)选择被四人造成的五个“空隙”中的两个.这样有AA＝480种坐法. ●规律总结 运用插空法的要点 “插空”的策略是解决排列与组合中若干特殊元素互不相邻问题的常用手段.在具体操作时，先对普通元素排列，然后将这些特殊元素“插入”普通元素的空隙之中，从而保证它们互不相邻. 4.间接法(排除法) 　(2017·浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________