第三章 章末整合提升-2020-2021学年高中数学必修第一册新课标辅导【精讲精练】人教A版（word）

一、函数的概念 1.函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合. 2.已知函数值求字母取值的步骤 ①先对字母的取值范围分类讨论； ②然后代入到不同的解析式中； ③通过解方程求出字母的值； ④检验所求的值是否在所讨论的区间内. [例1]　(1)函数f(x)＝＋的定义域为________. (2)设函数f(x)＝若f(x0)＝8，则x0＝________. [解析]　(1)要使f(x)有意义，须且只需 ∴ ∴f(x)的定义域为[－1，2)∪(2，＋∞). (2)当x>2时，有2x0＝8，得x0＝4； 当x≤2时，有x＋2＝8，得x0＝－或(舍去). 综上，x0＝4或x0＝－. [答案]　(1)[－1，2)∪(2，＋∞)　(2)4或－ 1.(1)函数y＝－(x－1)0的定义域是 A.{x|x≥－4} B.{x|x≥－4且x≠－2} C.{x|x≥－4且x≠－2且x≠1} D.{x|x＞－4且x≠1} (2)设函数f(x)＝若f(a)>1，则实数a的取值范围是________. 解析　(1)要使函数有意义，须有 解不等式组可得{x|x≥－4且x≠－2且x≠1}. (2)当a≥0时，f(a)＝a－1>1，解得a>4，符合a≥0；当a<0时，f(a)＝>1，无解. 答案　(1)C　(2)(4，＋∞) 二、函数的图象 函数图象是变量间的直观反映，能较形象地分析出变量间的变化规律，更是研究函数性质(最值、单调性)的有力工具，尤其是在新课标“多考一点想，少考一点算”的指导下，函数图象将成为考查学生理性思维的一个切入口. [例2]　已知函数f(x)＝|－x2＋2x＋3|. (1)画出函数图象并写出函数的单调区间； (2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}. [解析]　(1)当－x2＋2x＋3≥0时，得－1≤x≤3，函数y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4； 当－x2＋2x＋3＜0时，得x＜－1或x＞3，函数y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4. 即y＝的图象如下图所示， 单调增区间为[－1，1]和[3，＋∞)，单调减区间为(－∞，－1)和(1，3). (2)由题意可知，函数y＝f(x)与y＝m的图象有四个不同的交点，则0＜m＜4. 故集合M＝{m|0＜m＜4}. 2.对于函数f(x)＝x2－2|x|. (1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性； (2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值. 解析　(1)函数的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|. 则f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数. 图象关于y轴对称. (2)f(x)＝x2－2|x|＝ 画出图象如图所示， 根据图象知，函数f(x)的最小值是－1. 单调增区间是(－1，0)，(1，＋∞)；减区间是(－∞，－1)，(0，1). 三、函数的性质 研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图象及其变化趋势，从近几年的高考形式来看，对函数性质的考查体现了“小”“巧”“活”的特征，做题时应注重上述性质知识间的融合. 角度1　函数的单调性 [例3－1]　已知函数f(x)＝－(a＞0，x＞0). (1)求证：f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数； (2)若f(x)在区间上的值域是，求a的值. [解析]　(1)设x2＞x1＞0， 则x2－x1＞0，x1x2＞0， ∵f(x2)－f(x1)＝－ ＝－＝＞0， ∴f(x2)＞f(x1)， ∴f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数. (2)∵f(x)在区间上的值域是， 又由(1)得f(x)在区间上是单调增函数， ∴f＝，f(2)＝2，解得a＝. 角度2　函数的奇偶性 [例3－2]　已知偶函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时f(x)>0，f(2)＝1. (1)证明：f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数； (2)解不等式：f(2x－1)<2. [解析]　(1)设x2>x1>0， 则f(x2)－f(x1)＝f－f(x1) ＝f(x1)＋f－f(x1)＝f. 因为x2>x1>0，所以>1， 所以f>0，即f(x2)－f(x1)>0， 所以f(x2)>f(x1)， 所以f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数. (2)因为f(2)＝1，所以f(4)＝f(2)＋f(2)＝2， 因为f(x)是偶函数， 所以不等式f(2x－1)<2可化为f(|2x－1|)<f(4)， 又因为函数在区间(0，＋∞)上是增函数， 所以0≠|2x－1|<4，解得－<x<，且x≠. 所以，原不等式的解集为. 3.已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝. (1)求实数m和n的值； (2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最