2-4 正态分布-2020-2021学年高中数学选修2-3【导学教程】同步辅导（人教A版）word

§2.4　正态分布 [课标解读] 1.利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义. 2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)的概率的大小.(重点) 3.会用正态分布去解决一些实际问题.(难点) 1.正态曲线及其性质 (1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线. (2)正态曲线的性质： ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交. ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称. ③曲线在x＝μ处达到峰值. ④曲线与x轴之间的面积为1. ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移. ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中； σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.如图所示： [来源:Z。xx。k.Com] 2.正态分布及正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)正态分布： ①如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布. ②记为：X～N(μ，σ2). (2)正态变量在三个特殊区间内取值的概率： ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6； ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4； ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4. 知识点　正态曲线、正态分布 探究1：结合正态曲线的图象完成下面几组填空，总结正态曲线的特点. 上图形中的各空应填的内容分别为： ①峰值：__________； ②位置：曲线位于x轴的________，与x轴________； ③面积：曲线与x轴之间的面积为____； ④对称轴：________. 提示　①　②上方　不相交　③1　④x＝μ 探究2：结合下面正态曲线对应函数解析式回答下列问题，了解各参数的含义. φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞). (1)参数μ，σ在正态分布中分别表示随机变量取值的哪一个数字特征？ 提示　μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差. (2)已知正态分布密度函数为f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，则该正态分布的均值为________，标准差为______. 提示　对照正态分布密度函数φμ，σ(x)＝e－， x∈(－∞，＋∞)可得μ＝0，σ＝. 　(1)某次我市高三数学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是 A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都居中 D.甲、乙、丙的总体的平均数不相同 (2)如图是当σ取不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的关系是 A.σ1>1>σ2>σ3>0 B.0<σ1<σ2<1<σ3 C.σ1>σ2>1>σ3>0 D.0<σ1<σ2＝1<σ3 【自主解答】　(1)由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越陡峭，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙，故选A. (2)由图象可知，此正态分布为标准正态分布，其函数的解析式为f(x)＝e－，x∈R.对于正态分布密度曲线，其标准差σ反映该组数据的离散程度.σ越大，数据越分散，曲线越矮胖；σ越小，数据越集中，曲线越瘦高.因而一定有0<σ1<σ2<σ3. 又由f(x)＝e－，x∈R知，当x＝0时，f(0)＝e－＝e0＝，由图象知f(0)＝，则＝，所以σ2＝1. 【答案】　(1)A　(2)D ●规律总结 求正态曲线的两个方法 (1)图解法：明确顶点坐标便可，横坐标为样本的均值μ，纵坐标为. (2)待定系数法：求出μ，σ便可. 1.设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有 A.μ1<μ2，σ1<σ2　　　　B.μ1<μ2，σ1>σ2 C.μ1>μ2，σ1<σ2 D.μ1>μ2，σ1>σ2 解析　μ反映的是正态分布的平均水平，x＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1<μ2；σ反映的是正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由图可知σ1<σ2. 答案　A 　(1)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为 (附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.) A.4.56%　　B.1