2.4 正态分布 难度3-【优鸿】高中选修2-3数学同步提分练(人教A版)

高中数学·人教版高中数学选修2-3 难度3 第⼆章 随机变量及其分布 正态分布 1. 若 ，a为一个实数，证明 . 2. 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布 ，已 知成绩在90分以上（含90分）的学生有12人. (1)问此次参赛学生的总数约为多少？ (2)若成绩在80分以上（含80分）为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少？ 3. 一台机床生产一种尺寸为 的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下（单 位： ）： ，如果机床生产零件的尺寸 服 从正态分布，求正态分布的概率密度函数表达式. 4. 从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下 频率分布直方图： 附： . 若 ，则 . (1)求这500件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 （同一组数据用该区间的中点 值作代表）； (2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 . 利用该正态分布，求 ； (3)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间 的产品件数，利用 的结果，求 . 参考答案 1 由题意可知，X服从正态分布，即
. ∵a为⼀个实数, ∴
是由正态曲线，直线 及x轴围成区域的⾯积. 由正态分布的性质可知： 当 时，正态分布密度函数取最⼤值 . ∵ ， ∴当 趋于0时,
得 . 2 （1）526 （2）83 3 4 （1） （2） （3）