2-3-2 离散型随机变量的方差-2020-2021学年高中数学选修2-3【导学教程】同步辅导（人教A版）word

§2.3.2　离散型随机变量的方差 [课标解读] 1.理解离散型随机变量方差、标准差的概念及意义. 2.会运用方差的概念及相关公式计算离散型随机变量的方差、标准差，并能解决一些实际问题.(重点) 3.了解方差性质“D(aξ＋b)＝a2D(ξ)”，掌握服从二项分布和两点分布的方差或标准差公式.(重点，难点) 1.方差、标准差的定义及方差的性质 (1)方差及标准差的定义： 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn ①方差D(X)＝(xi－E(X))2·pi. ②标准差为. (2)方差的性质：D(aX＋b)＝a2D(X). 2.两个常见分布的方差 (1)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p). (2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p). 知识点　离散型随机变量的方差及性质 探究1：结合离散型随机变量均值与方差的概念及下面所提供材料，完成下面几个问题，明确方差的含义. 材料：从甲、乙两运动员中选一人参加冬季大学生运动会，以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中的得分情况为： X1(甲得分) 0 1 2 P(X1＝xi) 0.2 0.5 0.3 X2(乙得分) 0 1 2 P(X2＝xi) 0.3 0.3 0.4 (1)试根据分布列求出X1，X2的均值，并探究用均值比较两运动员的成绩优劣. 提示　由均值公式可得E(X1)＝0×0.2＋1×0.5＋2×0.3＝1.1，E(X2)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1. 所以E(X1)＝E(X2)，均值相等，无法利用均值比较两运动员的成绩优劣. (2)试用方差公式分别计算出X1，X2的方差，并比较大小. 提示　由方差公式得D(X1)＝(0－1.1)2×0.2＋(1－1.1)2×0.5＋(2－1.1)2×0.3＝0.49，[来源:学+科+网Z+X+X+K] D(X2)＝(0－1.1)2×0.3＋(1－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.4＝0.69， 故D(X1)<D(X2). (3)欲从甲、乙两运动员中选一人参加冬季大学生运动会，你认为选派哪位运动员参加较好？ 提示　通过比较两运动员的平均得分(即均值)得均值相等，即这两名运动员的平均水平一样，再比较两运动员的稳定性，即方差，由此决定派谁，由计算得甲的方差小，所以甲运动员更稳定一些，应选派甲参加. 探究2：结合下面的几个问题，进一步理解离散型随机变量方差的概念及性质. (1)离散型随机变量均值满足E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，方差是否也满足式子D(aξ＋b)＝aD(ξ)＋b. 提示　由方差公式可得常数的方差为0，结合公式得D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，故方差不满足式子D(aξ＋b)＝aD(ξ)＋b. (2)若随机变量X服从两点分布，则其方差D(X)的值为多少，能否利用基本不等式求方差的最大值？ 提示　两点分布的方差为D(X)＝p(1－p)，由式子可得p(1－p)≤＝，故能用基本不等式求方差的最大值. 　(1)(2018·浙江)设0<p<1，随机变量ξ的分布列是 ξ 0 1 2 P 则当p在(0，1)内增大时， A.D(ξ)减小 B.D(ξ)增大 C.D(ξ)先减小后增大 D.D(ξ)先增大后减小 (2)袋中有大小相同的小球6个，其中红球2个，黄球4个，规定取1个红球得2分，1个黄球得1分.从袋中任取3个小球，记所取3个小球的分数之和为X，求随机变量X的分布列、均值和方差. 【自主解答】　(1)由题可得E(ξ)＝＋p， 所以D(ξ)＝－p2＋p＋＝－＋， 所以当p在(0，1)内增大时，D(ξ)先增大后减小.故选D. (2)由题意可知，X的所有可能的取值为5，4，3. P(X＝5)＝＝；P(X＝4)＝＝； P(X＝3)＝＝. 故X的分布列为 X 5 4 3 P E(X)＝5×＋4×＋3×＝4. D(X)＝(5－4)2×＋(4－4)2×＋(3－4)2×＝. 【答案】　(1)D　(2)略 ●规律总结 求离散型随机变量X的方差的步骤 1.某校从6名学生会干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加市中学生运动会志愿者. (1)所选3人中女生人数为 ξ，求ξ的分布列及方差； (2)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率. 解析　(1)ξ的可能取值为0，1，2. 由题意P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1， D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝. (2)设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C，男生甲被选中的种数