2-1 离散型随机变量及其分布列-2020-2021学年高中数学选修2-3【导学教程】同步辅导（人教A版）word

§2.1　离散型随机变量及其分布列 [课标解读] 1.了解随机变量的意义，理解离散型随机变量的概念，并能举出离散型随机变量的例子. 2.会求某些简单的离散型随机变量的概率分布列.(重点) 3.掌握离散型随机变量的分布列的两条性质. 4.理解两点分布、超几何分布、并能进行简单应用.(难点) 1.随机变量 (1)定义：在一个对应关系下，随着试验结果变化而变化的量称为随机变量. (2)表示：随机变量常用字母X，Y，Z等表示. 2.离散型随机变量 如果随机变量X的所有可能的取值都可以一一列举出来，则称X为离散型随机变量. 3.离散型随机变量的分布列 (1)定义：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，x3，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称上表为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列. (2)表示：离散型随机变量可以用表格、图象、解析式表示. (3)性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②i＝1. 4.两个特殊分布 (1)两点分布：随机变量X的分布列是： X 1 0 P p q 其中0<p<1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数p的两点分布.称p＝P(X＝1)为成功概率. (2)超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列 X 0 1 … m P … 为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称离散型随机变量X服从超几何分布. 知识点一　离散型随机变量 “嫦娥三号”已于2013年12月2日1时30分由长征三号乙运载火箭从西昌卫星发射中心发射.它携带中国的第一艘月球车，并实现了中国首次月面软着陆. 探究：阅读离散型随机变量的概念，结合上面材料回答下面几个问题，并明确离散型随机变量的特点. (1)“嫦娥三号”卫星的使用寿命是否为离散型随机变量？ 提示　“嫦娥三号”卫星的使用寿命是一个非负实数，而所有非负实数是不能一一列出的，故“嫦娥三号”卫星的使用寿命不是离散型随机变量. (2)若我们从“嫦娥三号”卫星的使用寿命能否大于某一个数值入手恰当地定义随机变量，能否使之成为离散型随机变量？ 提示　若我们从使用寿命是否大于5年定义随机变量(“嫦娥三号”的使用寿命)，则该随机变量为Y＝(单位：年)，因0和1能够一一列出，故为离散型随机变量. 知识点二　离散型随机变量的分布列 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 探究1：观察上述表格，回答下面几个问题，明确离散型随机变量分布列的特点. (1)表格中的x1，x2，…，xn及p1，p2，…，pn分别表示什么含义？X取值为x1，x2，…，xn时所对应的事件是否互斥？ 提示　表格中x1，x2，…，xn表示离散型随机变量X可能取的不同值，p1，p2，…，pn表示X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi.由随机变量的概念知随机变量X取值x1，x2，…，xn是不能同时发生的，故随机变量X取值为x1，x2，…，xn时所对应事件是互斥的. (2)若一个离散型随机变量X的取值共有(n＋1)个，那么上述表格能否表示为这一随机变量的分布列？ 提示　因为随机变量的分布列应能反映出随机变量的所有取值，及每一个取值所对应的概率值.若随机变量X的取值共有n＋1个，则表格中的第一行应反映出X的(n＋1)个取值而上述表格只体现n个取值，故不能表示这一随机变量的分布列. (3)如何用表格的形式表示离散型随机变量的分布列？ 提示　若要用表格的形式表示离散型随机变量的分布列，首先需确定X的取值，注意不要遗漏，再计算X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，最后用表格的方法表示随机变量的分布列. 探究2：观察表格中第二行各概率值的特点，完成下面几个问题，理解分布列的性质. (1)表格中p1，p2，…，pn的取值范围分别是多少？ 提示　由概率的意义知p1，p2，…，pn的取值范围为[0，1]，即0≤pi≤1，i＝1，2，…，n. (2)表格中p1＋p2＋…＋pn的值为多少？ 提示　因为随机变量X取值为x1，x2，…，xn在选取时必有一个发生，且每个事件间都是相互互斥的，所以有p1＋p2＋…＋pn＝1. 知识点三　特殊分布 探究1：观察下面分布列，通过下面几个问题，理解两点分布的特点. X 0 1 P