1-3-2 “杨辉三角”与二项式系数的性质-2020-2021学年高中数学选修2-3【导学教程】同步辅导（人教A版）word

§1.3.2　“杨辉三角”与二项式系数的性质 [课标解读] 1.了解杨辉及杨辉三角；初步认识杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力.(难点) 2.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用.(重点) 3.理解和初步掌握赋值法. 1.杨辉三角的特点 (1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等. (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C. 2.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即C＝C). (2)增减性与最大值：当k<时，二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n是偶数时，中间一项Cn取得最大值；当n是奇数时，中间两项Cn，Cn相等，同时取得最大值. (3)各二项式系数的和： ①C＋C＋C＋…＋C＝2n， ②C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 知识点　杨辉三角与二项式系数的性质 表一： 表二： 探究：观察上面(a＋b)n展开式中的二项式系数，结合杨辉三角有关的内容，探究以下问题： (1)杨辉三角的第n行数字规律与二项展开式有何联系？ 提示　杨辉三角的第n行数字规律是二项式(a＋b)n展开式的二项式系数，即(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn. (2)二项式中各项的二项式系数之和如何求？ 提示　在二项式中，令a＝b＝1，可得(1＋1)n＝2n＝C＋C＋C＋…＋C，即2n＝C＋C＋C＋…＋C. (3)如何求二项展开式中各项系数和或部分系数和？ 提示　通常利用赋值法，如：求(a＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn展开式中各项系数和，可令x＝1，即得各项系数和a0＋a1＋a2＋…＋an＝(a＋1)n.若要求奇数项的系数之和或偶数项的系数之和，可分别令x＝－1，x＝1，两等式相加或相减即可求出结果. 　(1)杨辉三角如图(a)所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是 A.第6行　　B.第7行　　C.第8行　　D.第9行 (2)如图(b)，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于 A.144 B.146 C.164 D.461 【自主解答】　(1)由题意，第6行为1　6　15　20　15　6　1，第7行为1　7　21　35　35　21　7　1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除. (2)由题干图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第15项是C，第16项是C. 所以S(16)＝C＋C＋C＋C＋…＋C＋C＝(C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)＝(C＋C＋C＋…＋C－C)＋(C＋C＋…＋C)＝C＋C－1＝164. 【答案】　(1)B　(2)C ●规律总结 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 1.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第______行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3. 第0行1[来源:学科网] 第1行1　1 第2行1　2　1 第3行1　3　3　1 第4行1　4　6　4　1 第5行1　5　10　10　5　1 …… 解析　由“杨辉三角”知，第1行中的数是C，C；第2行中的数是C，C，C；第3行中的数是C，C，C，C；…；第n行中的数是C，C，C，…，C.设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3，则C∶C＝2∶3，解得n＝34. 答案　34 　(1)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 A.212　 　 　B.211　 　 　C.210　 　 　D.29 (2)设(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5. 求：①a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值； ②a1＋a3＋a5的值； ③|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|的值. 【自主解答】　(1)∵(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为C，C， ∴C＝C，得n＝10. 从而有C＋C＋C＋C＋…＋C＝210， 又C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C， ∴奇数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29. (2)记f(x)＝(1－2x)5. ①a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝f(1)－f(0)＝－2. ②f(1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，所以a1＋a3＋a5＝[f(1)－f(－1)]＝(－1－35)＝－122. ③|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝f(－1)－f(0)＝35