1-3-1 二项式定理-2020-2021学年高中数学选修2-3【导学教程】同步辅导（人教A版）word

§1.3　二项式定理 §1.3.1　二项式定理 [课标解读] 1.理解二项式定理是代数乘法公式的推广. 2.理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理.(难点) 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.(重点) 二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn 二项展开式 公式右边的式子 二项式系数 各项的系数C(k＝0，1，…，n) 二项展开式的通项 Tk＋1＝Can－k·bk 知识点一　二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*). 探究：观察二项式定理的展开式特征，思考下列问题： (1)二项式定理适用条件是什么？ 提示　二项式定理只对两项和的正整数次幂适用，幂指数不能是零和负数. (2)根据二项式定理考查(a＋b)n与(b＋a)n展开式相同吗？ 提示　(a＋b)n＝Canb0＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Ca0bn(n∈N*). (b＋a)n＝Cbna0＋Cbn－1a1＋…＋Cbn－kak＋…＋Cb0an(n∈N*). 由于C＝C， 故(a＋b)n展开式中的第k＋1项Can－kbk与(b＋a)n展开式中的第n－k＋1项Cbkan－k相等. 故(a＋b)n与(b＋a)n展开式相同. 知识点二　二项展开式的通项公式 Tk＋1＝Can－kbk(k＝0，1，2，…，n). 探究：观察二项展开式的通项公式，思考下列问题： (1)二项式系数与对应项的系数有什么区别？ 提示　二项式系数与对应项的系数是完全不同的两个概念，前者特指C，与a，b的值无关；而后者不仅与C有关，而且也与a，b的值有关. (2)二项式(a＋b)n的通项和(b＋a)n的通项相同吗？ 提示　在(a＋b)n中通项Tk＋1＝Can－kbk.在(b＋a)n中，Tk＋1＝Cbn－kak，不相同. 　(1)求的展开式； (2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1). 【自主解答】　(1)解法一　＝C()4－C()3·＋C()2·－C·＋C＝x2－2x＋－＋. 解法二　＝＝(2x－1)4＝(16x4－32x3＋24x2－8x＋1) ＝x2－2x＋－＋. (2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C－C＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1. 【答案】　(1)x2－2x＋－＋　(2)x5－1 ●规律总结 1.(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：(1)各项的次数等于n；(2)字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n. 2.逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢. 1.(1)的展开式为________________________________________. (2)设n∈N*，则C2n－C2n－1＋…＋(－1)kC2n－k＋…＋(－1)nC＝________. 解析　(1)解法一　＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·＋C(3)·＋C·＝81x2＋108x＋54＋＋. 解法二　＝＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋＋. (2)C2n－C2n－1＋…＋(－1)kC2n－k＋…＋(－1)nC＝C2n·(－1)0＋C2n－1·(－1)1＋…＋C2n－k·(－1)k＋…＋C20(－1)n＝(2－1)n＝1. 答案　(1)81x2＋108x＋54＋＋　(2)1 　(1)(2018·全国卷Ⅲ)的展开式中x4的系数为 A.10　　　　B.20　　　　C.40　　　　D.80 (2)设二项式的展开式中常数项为A，则A＝________. 【自主解答】　(1)Tr＋1＝C(x2)5－r＝C2rx10－3r，由10－3r＝4，得r＝2，所以x4的系数为C×22＝40.故选C. (2)Tk＋1＝C()5－k＝C(－1)kx－，[来源:Zxxk.Com] 令－＝0，得k＝3，所以A＝－C＝－10. 【答案】　(1)C　(2)－10 ●规律总结 1.求二项展开式特定项的步骤 2.求二项展开式的特定项常见题型及处理措施 (1)求第k项.Tk＝Can－k＋1bk－1. (2)求常数项.对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项). (3)求有理项.对于有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解. 　(4)求整式项.求二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的