1-2-2-2 组合的综合应用-2020-2021学年高中数学选修2-3【导学教程】同步辅导（人教A版）word

第2课时　组合的综合应用 　(1)某人决定投资3种股票和4种债券，经纪人向他推荐了6种股票和5种债券，则此人不同的投资方式有________种. (2)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？ ①任意选5人； ②甲、乙、丙三人必须参加； ③甲、乙、丙三人不能参加；[来源:学§科§网Z§X§X§K] ④甲、乙、丙三人只能有1人参加； ⑤甲、乙、丙三人至少1人参加； ⑥甲、乙、丙三人至多2人参加. 【自主解答】　(1)需分两步：第一步，根据经纪人推荐在6种股票中选3种，共有C种选法；第二步，根据经纪人的推荐在5种债券中选4种，共有C种选法.根据分步乘法计数原理，此人有C·C＝100种不同的投资方式. (2)①有C＝792种不同的选法. ②甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C＝36种不同的选法. ③甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C＝126种不同的选法. ④甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有C＝3种选法，再从另外的9人中选4人，有C种选法.共有CC＝378种不同的选法. ⑤解法一　(直接法)：可分为三类： 第一类：甲、乙、丙中有1人参加，共有CC＝378(种)； 第二类：甲、乙、丙中有2人参加，共有CC＝252(种)； 第三类：甲、乙、丙中有3人参加，共有CC＝36(种). 共有CC＋CC＋CC＝666种不同的选法. 解法二　(间接法)：12人中任意选5人，共有C种，甲、乙、丙三人都不能参加的有C种， 所以，共有C－C＝666种不同的选法. ⑥解法一　(直接法)：甲、乙、丙三人至多2人参加，可分为三类： 第一类：甲、乙、丙都不参加，共有C种； 第二类：甲、乙、丙中有1人参加，共有CC种； 第三类：甲、乙、丙中有2人参加，共有CC种. 共有C＋CC＋CC＝756种不同的选法. 解法二　(间接法)：12人中任意选5人，共有C种，甲、乙、丙三人全参加的有C种，所以，共有C－C＝756种不同的选法. 【答案】　(1)100　(2)见自主解答 ●规律总结 解简单的组合应用题的策略 1.解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关，只要元素相同即可. 2.要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏. 1.某大学要从16名大学生(男10人，女6人)中选出8名学生组成“假期下乡送科学小组”. (1)如果小组中至少有3名女生，可有多少种不同的选法？ (2)如果小组中至少有5名男生，可有多少种不同的选法？ (3)如果小组中至多有3名女生，可有多少种不同的选法？ 解析　(1)至少有3名女生的选法可分为如下四类：有3名女生：C·C种选法；有4名女生：C·C种选法；有5名女生：C·C种选法；有6名女生：C·C种选法.所以至少有3名女生共有C·C＋C·C＋C·C＋C·C＝8 955种选法. (2)至少有5名男生的选法可分为如下四类： 有5名男生：C·C种选法；有6名男生：C·C种选法；有7名男生：C·C种选法；有8名男生：C·C种选法.所以至少有5名男生共有C·C＋C·C＋C·C＋C·C＝8 955种选法. (3)至多有3名女生的选法可分为如下四类： 不含女生：C种选法；有1名女生：C·C种选法；有2名女生：C·C种选法；有3名女生：C·C种选法.所以至多有3名女生共有C＋C·C＋C·C＋C·C＝8 955种选法. 答案　(1)8 955　(2)8 955　(3)8 955 　平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线.以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？ 【自主解答】　解法一　以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准. 第1类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有CC＝48个不同的三角形；[来源:学科网] 第2类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有CC＝112个不同的三角形； 第3类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C＝56个不同的三角形. 由分类加法计数原理知，共有 48＋112＋56＝216个不同的三角形. 解法二　(间接法)：从12个点中任意取3个点，有C＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C＝4种. 故这12个点构成三角形的个数为C－C＝216. 【答案】　216 ●规律总结 1.解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理. 2.图形多少的问题通常是组合问题，