1-2-2-1 组合与组合数公式-2020-2021学年高中数学选修2-3【导学教程】同步辅导（人教A版）word

§1.2.2　组合 第1课时　组合与组合数公式 [课标解读] 1.使学生正确理解组合、组合数的概念. 2.使学生会类比排列数公式的推导推导组合数公式.(难点) 3.了解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明.(重点) 1.组合的定义 从n个不同的元素中取出m(n≥m)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2.组合数的概念、公式、性质 组合数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 表示法 C 组合数 公式 乘积式 C＝＝ 阶乘式 C＝[来源:Zxxk.Com] 性质 C＝C，C＝C＋C 备注 ①n，m∈N*，且m≤n；②规定：C＝1 知识点一　组合的定义 探究1：通过下列问题的探究，明确排列与组合的关系： (1)从甲、乙、丙三人中选出两人参加某活动，则共有不同的选法种数为________，若选出的两人参加某两项不同的活动，则共有不同的选法种数为________. 提示　从甲、乙、丙三人中选两人参加某活动，共有甲乙、甲丙、乙丙3种不同的选法，而从甲、乙、丙三人中选两人参加某两项不同的活动，则有甲乙、乙甲、甲丙、丙甲、乙丙、丙乙共6种不同的选法. (2)据(1)中问题的解决，考虑此处的两个问题最大的不同点是什么？[来源:Z|xx|k.Com] 提示　最大的不同点在于选出的两人是否有顺序. 探究2：根据组合的定义，思考下列问题： (1)组合与排列的异同点分别是什么？ 提示　共同点：都是“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素”；不同点：组合“不管顺序并成一组”，而排列是要“按照一定顺序排成一列”. (2)从a，b，c，d中选取2个，ab与ba是同一个组合吗？ 提示　是.组合与顺序无关. 知识点二　组合数与组合数公式 探究1：阅读组合数的定义，回答下列问题： (1)在组合数公式C中，m，n应满足什么条件？ 提示　m，n∈N*，且m≤n. (2)一个组合与组合数有何区别？ 提示　一个组合与组合数是两个不同的概念，根据定义，一个组合是具体的一件事，它不是一个数；而组合数是所有组合的个数，它是一个数.解题时应分清求组合还是组合数. 探究2：观察组合数公式的特征，回答下列问题： (1)组合数公式C＝一般用于________；C＝一般用于________或m，n数字较大时的计算. 提示　求值，计算　化简，证明 (2)根据组合数公式能否得到排列数与组合数的一个关系式？ 提示　能.A＝C·A. 　判断下列各事件是排列问题，还是组合问题. (1)10个人相互各写一封信，共写多少封信？ (2)10个人相互通一次电话，共通了多少次电话？ (3)从10个人中选3个代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人里选出3个不同学科的代表，有多少种选法？[来源:学科网ZXXK] 【自主解答】　(1)是排列问题.因为发信人与收信人是有区别的. (2)是组合问题.因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别. (3)是组合问题.因为3个代表之间没有顺序的区别. (4)是排列问题.因为3个人中，担任哪一科的代表是有顺序区别的. 【答案】　(1)排列问题　(2)组合问题　(3)组合问题　(4)排列问题 ●规律总结 判断一个问题是组合问题还是排列问题的关键及依据 (1)关键：在于选出的元素与顺序是否有关. (2)依据：若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题. 1.判断下列问题是组合问题还是排列问题，并用组合数或排列数表示出来. (1)若已知集合{1，2，3，4，5，6，7}，则集合的子集中有3个元素的有多少？ (2)8人相互发一个电子邮件，共写了多少个邮件？ (3)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？ 解析　(1)已知集合的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题，共有C个. (2)互发邮件有先后之分，与顺序有关的是排列问题，共写了A个电子邮件. (3)飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题，有A种飞机票；票价只与两站的距离有关，故票价的种数是组合问题，有C种票价. 答案　(1)组合问题　C　(2)排列问题　A　(3)排列问题　A　组合问题　C 　(1)计算：①C－C·A＝________. ②C＋C＝________. (2)证明：mC＝nC. 【自主解答】　(1)①C－C·A＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0. ②由得所以n＝10. 所以原式＝C＋C＝C＋C＝＋31＝466. (2)因为左边＝m·＝ ＝n＝nC＝右边， 所以mC＝nC. 【答案