1-1 分类加法计数原理与分布乘法计数原理-2020-2021学年高中数学选修2-3【导学教程】同步辅导（人教A版）word

§1.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 [课标解读] 1.通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理. 2.理解并掌握两个计数原理，并会利用这两个原理分析和解决一些简单的问题.(重点) [来源:学科网ZXXK] 1.分类加法计数原理 2.分步乘法计数原理 3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别 (1)联系：都是涉及做一件事的不同方法的种数问题. (2)区别：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事. 知识点一　分类加法计数原理 探究1：已知某校学生会由高一年级2人，高二年级3人，高三年级2人组成，若想选其中1人为学生会主席，试探究以下问题： (1)如果只从高一年级成员中选1人为学生会主席，有几种不同的选法？ 提示　2种. (2)如果只从高二年级成员中选1人为学生会主席，有几种不同的选法？只从高三年级成员中选取呢？ 提示　只从高二年级成员中选取有3种不同选法；只从高三年级成员中选取有2种不同选法. (3)若不论哪个年级，都可以选取，则共有几种不同选法？ 提示　共有2＋3＋2＝7(种)不同选法. 探究2：根据分类加法计数原理考虑完成一件事的第1类方案与第2类方案中的每一种方法有没有重复或遗漏？ 提示　每种方法都可以独立地完成这件事，它们之间没有重复或遗漏. 知识点二　分步乘法计数原理 探究1：根据分类加法计数原理的探究1的材料回答下列问题： (1)若想从每年级学生会成员中各选1人为学生会常委，则有多少种不同的选法？ 提示　不妨设高一年级成员为A1，A2，高二年级成员为B1，B2，B3，高三年级成员为C1，C2. 此处需要从各年级分别选出1人来，用列举法为A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，A1B2C2，A1B3C1，A1B3C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2，A2B3C1，A2B3C2共有12种. (2)观察此处的结果与各年级人数间的关系是什么？ 提示　2×3×2＝12，即年级人数之积为本问题中不同的选法种数. 探究2：如何理解“完成一件事”的过程中的各步之间关系？ 提示　各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复. 　(1)若x，y∈N*，且x＋y≤6，则有序自然数对(x，y)共有________个. (2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________. 【自主解答】　(1)将满足条件x，y∈N*，且x＋y≤6的x的值进行分类： 当x＝1时，y可取的值为5，4，3，2，1，共5个； 当x＝2时，y可取的值为4，3，2，1，共4个； 当x＝3时，y可取的值为3，2，1，共3个； 当x＝4时，y可取的值为2，1，共2个； 当x＝5时，y可取的值为1，共1个. 即当x＝1，2，3，4，5时，y的值依次有5，4，3，2，1个， 由分类加法计数原理得，不同的数对(x，y)共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个). (2)解法一　根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个).故共有36个. 解法二　分析个位数字，可分以下几类： 个位是9，则十位可以是1，2，3，…，8中的一个，故共有8个； 个位是8，则十位可以是1，2，3，…，7中的一个，故共有7个； 同理个位是7的有6个； … 个位是2的有1个. 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个).故共有36个. 【答案】　(1)15　(2)36 ●规律总结 1.使用分类加法计数原理计数的两个条件 (1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类. (2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理. 2.利用分类加法计数原理计数时的解题流程 1.(1)足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分.一球队打完15场，积33分.若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有________种. (2)三边长为整数，且最大边长为11的三角形有多少个？ 解析　(1)运用分类加法计数原理 胜　　负　　平　　积分 11 4 0 33 10 2 3 30＋3 9 0 6 27＋6 由上述分类可得，该队胜、负、平的情况共有3种. (