第一章 常用逻辑用语 章末整合提升-2020-2021学年高中数学选修2-1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

答案　①必要条件　②p⇔q　③或　④全称命题 ⑤存在量词 题型一　四种命题及其相互关系 　(1)在空间中“若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等”的逆命题为________，为________命题(填“真”或“假”)． (2)已知a，b，c∈R，写出命题“若ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假． 【解析】　(1)逆命题为：若两个角相等，则这两个角的两边分别平行，是假命题． (2)逆命题“若方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)有两个不相等的实数根，则ac<0”，是假命题． 如当a＝1，b＝－3，c＝2时，方程x2－3x＋2＝0有两个不等实根x1＝1，x2＝2，但ac＝2>0. 否命题“若ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)没有两个不相等的实数根”，是假命题． 这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题． 逆否命题“若方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)没有两个不相等的实数根，则ac≥0”，是真命题． 因为原命题是真命题，而逆否命题与原命题等价． 【答案】　(1)若两个角相等，则这两个角的两边分别平行　假 (2)见解析[来源:Z§xx§k.Com] ●规律总结 简单命题真假的判断方法 直接法分清条件和结论，运用命题所涉及的知识进行推理论证间接法举反例寻找等价命题需要准确地写出所给命题的等价命题 题型二　充分条件、必要条件与充要条件 　(1)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的 A．充分不必要条件　　　B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)给定两个命题p，q，若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】　(1)由(2x－1)x＝0⇒x＝0或x＝，所以应选B. (2)因为綈p是q的必要而不充分条件，所以綈q是p的必要而不充分条件，即p是綈q的充分而不必要条件． 【答案】　(1)B　(2)A ●规律总结 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 (1)定义法 ①若“p⇒q”，且“qp”，则p是q的“充分不必要条件”，同时q是p的“必要不充分条件”； ②若“p⇔q”，则p是q的“充要条件”，同时q是p的“充要条件”； ③若pq，则p是q的“既不充分也不必要条件”，同时q是p的“既不充分也不必要条件”． (2)等价命题法 利用互为逆否的两个命题间的等价关系判断． (3)用集合法判断充分条件、必要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则： ①若A＝B，则p是q的充要条件； ②若AB，则p是q的充分不必要条件； ③若BA，则p是q的必要不充分条件； ④若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件． 题型三　含有逻辑联结词的命题 　(1)设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝对称，则下列判断正确的是 A．p为真 B．綈q为假 C．p∧q为假 D．p∨q为真 (2)设集合A＝{x|－2－a<x<a，a>0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围． 【解析】　(1)由题意知p与q均为假命题，故p∧q为假． (2)若p为真命题，则－2－a<1<a，解得a>1.[来源:学。科。网Z。X。X。K] 若q为真命题，则－2－a<2<a，解得a>2. 依题意得p与q一真一假，若p真q假，则 即1<a≤2. 若p假q真，则a不存在．综上1<a≤2. 【答案】　(1)C　(2)1<a≤2 ●规律总结 判断含有逻辑联结词的命题真假的方法 (1)先确定简单命题p，q. (2)分别确定简单命题p，q的真假． (3)利用真值表判断所给命题的真假． 题型四　含有一个量词的命题及其否定 　(1)命题∀x∈R，x2＋4x＋4≥0的否定为________．[来源:学科网] (2)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假： ①对数函数都是单调函数； ②至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除； ③∀x∈{x|x是无理数}，x2是有理数； ④∃x0∈Z，log2x0>0. 【解析】　(1)全称命题的否定是特称命题，所以该命题的否定为∃x0∈R，x＋4x0＋4<0. (2)①全称命题，真命题． ②特称命题，真命题．[来源:学,科,网] ③全称命题，假命题，例如，当x＝时，x2＝，不是有理数． ④特称命题，真命题． 【答案】　(1)∃x0∈R，x＋4x0＋4<0 (2)见解析 ●规律总结 1．求一个命题的否定的方法 (1)确定原命题是全称命题还是特称命题． (2)转换量