1.3 全称量词与存在量词（课时作业）-2021-2022学年高中数学选修2-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

§3　全称量词与存在量词 3.1　全称量词与全称命题 3.2　存在量词与特称命题 3.3　全称命题与特称命题的否定 [选题明细表] 知识点、方法 题号 全称命题与特称命题的判断 1,2 含一个量词的命题的真假判断 5,7,8,9 全称命题与特称命题的否定 3,4,11 全称命题与特称命题的应用 6,9,10,12 基础巩固 1.下列命题: ①中国公民都有受教育的权利; ②每一个学生都要接受爱国主义教育; ③有人既能写小说,也能搞发明创造; ④任何一个数除0,都等于0. 其中全称命题的个数是(　C　) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:命题①②④都是全称命题.故选C. 2.下列命题为特称命题的是(　D　) (A)偶函数的图像关于y轴对称 (B)正四棱柱都是平行六面体 (C)不相交的两条直线是平行直线 (D)存在实数大于等于3 解析:A,B,C均为全称命题.故选D. 3.全称命题“∀x∈R,x2+5x=4”的否定是(　C　) (A)∃x0∈R,+5x0=4 (B)∀x∈R,x2+5x≠4 (C)∃x0∈R,+5x0≠4 (D)以上都不正确 解析:全称命题的否定为特称命题.故选C. 4.命题“存在实数x,使x>1”的否定是(　C　) (A)对任意实数x,都有x>1 (B)不存在实数x,使x≤1 (C)对任意实数x,都有x≤1 (D)存在实数x,使x≤1 解析:这类题目应遵循“存在变任意(任意变存在),再否定结论”的原则,“存在实数x,使x>1”的否定是“对任意实数x,都有x≤1”,故选C. 5.已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c,若x1满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是(　C　) (A)存在x0∈R,f(x0)≤f(x1) (B)存在x0∈R,f(x0)≥f(x1) (C)任意x∈R,f(x)≤f(x1) (D)任意x∈R,f(x)≥f(x1) 解析:a>0,f(x)=ax2+bx+c为开口向上的二次函数,所以f(x)min=f(-), 即∀x∈R, f(x)≥f(-)=f(x1),因此C为假命题,故选C. 6.命题“方程x2-5x+6=0至少有一个非负实根”的否定是 　　　　　　　　　　　　　.  解析:特称命题的否定是全称命题,故方程x2-5x+6=0的每一个实根都是负的. 答案:方程x2-5x+6=0的每一个实根都是负的 7.下列四个命题: ①∀x∈R,x2+x+1≥0;②∀x∈Q,x2+x-是有理数;③∃α,β∈R,使sin(α+β)=sin α+sin β;④∃x,y∈Z,使3x-2y=10. 所有真命题的序号是　　 　.  解析:因为x2+x+1=(x+)2+≥, 所以①∀x∈R,x2+x+1≥0成立; ②∀x∈Q,x2+x-是有理数,成立; 因为sin(0+0)=sin 0+sin 0=0, 所以③∃α,β∈R,使sin(α+β)=sin α+sin β成立; 因为x=4,y=1时,3x-2y=10, 所以④∃x,y∈Z,使3x-2y=10成立. 答案:①②③④ 能力提升 8.已知命题p:∃x0∈N,<;命题q:∀a∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=loga(x-1)的图像过点(2,0),则(　A　) (A)p假q真 (B)p真q假 (C)p假q假 (D)p真q真 解析:由<,得(x0-1)<0,解得x0<0或0<x0<1,在这个范围内没有自然数,因此命题p为假命题; 又对任意的a∈(0,1)∪(1,+∞), 均有f(2)=loga1=0, 因此命题q为真命题,故选A. 9.若命题p:任意x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1是真命题,则实数a的取值范围是　　　　 　　.  解析:ax2+4x+a≥-2x2+1是真命题, 即不等式ax2+4x+a≥-2x2+1对任意x∈R恒成立, 即(a+2)x2+4x+(a-1)≥0恒成立. 当a+2=0时,不符合题意. 故有即 解得a≥2. 答案:[2,+∞) 10.命题“∀x∈[1,2],x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是 　　　　　 　.  解析:x2-a≤0,∀x∈[1,2]时恒成立,则a≥x2在x∈[1,2]上恒成立. 令g(x)=x2,g(x)max=4, 所以a≥4是命题“∀x∈[1,2],x2-a≤0”是真命题的充要条件. 而a≥5⇒a≥4且a≥4a≥5. 因此a≥5是一个充分不必要条件. 答案:[5,+∞)(答案不唯一) 11.判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定. (1)存在x∈Q,x2=3. (2)任意x∈R,sin x>1. (3)负数的平方是正数. 解:(1)是假命题,其否定是“任意x∈Q,x2≠3”. (2)是假命题,命题的否定