第一章 §1.4 全称量词与存在量词-2020-2021学年高中数学选修2-1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§1.4　全称量词与存在量词 [课标要求] 1.理解全称量词与存在量词的含义．(难点) 2．会判断一个命题是全称命题还是特称命题，并会判断全称命题与特称命题的真假．(重点) 3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易错点) [基础梳理] 1．全称量词与全称命题 (1)全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． (2)全称命题：含有全称量词的命题叫做全称命题． (3)符号表示：符号简记为∀x∈M，p(x)，读作：对任意x属于M，有p(x)成立． 2．存在量词与特称命题 (1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． (2)特称命题：含有存在量词的命题叫做特称命题． (3)符号表示：符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作：“存在一个x0属于M，使p(x0)成立．” 3．全称命题的否定 全称命题p 綈p 结论 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，綈p(x0) 全称命题的否定是特称命题 4.特称命题的否定 特称命题p 綈p 结论 ∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，綈p(x) 特称命题的否定是全称命题 [要点探究] 知识点一　全称量词和全称命题 探究：根据全称命题的概念，思考下列问题： (1)在全称命题中，量词是否可以省略？ 提示　在有些全称命题中，全称量词是可以省略的，如“平行四边形的对角线互相平分”实际应解读为“所有平行四边形的对角线都互相平分”． (2)一个全称命题的表述是否唯一？ 提示　不唯一．对于一个全称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，只要形式正确即可． 知识点二　存在量词和特称命题 探究1：观察下面的两个语句，思考下列问题： P：m>5； Q：存在一个m0∈Z，m0>5. (1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？ 提示　语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分． (2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个) 提示　常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等． 探究2：怎样区别全称命题和特称命题？ 提示　全称命题含有或隐含全称量词，体现了任意、所有的意思，特称命题含有或隐含存在量词，体现了特殊存在性. 知识点三　命题的否定 探究1：观察下面两个全称命题，完成以下问题： ①每一个负数的平方都是正数． ②∀x∈R，x2－2x＋3>0. (1)写出上述全称命题的否定，其否定还是全称命题吗？ 提示　上述全称命题的否定分别为： ①存在一个负数的平方不是正数． ②∃x0∈R，x－2x0＋3≤0. 其否定都变成了特称命题． (2)用自然语言描述的全称命题的否定形式唯一吗？ 提示　不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”． 探究2：观察下面两个特称命题，完成以下问题： ①存在一个数，它的绝对值不是正数； ②∃x0∈Z，x－1<0. (1)写出上述特称命题的否定，其否定还是特称命题吗？ 提示　上述特称命题的否定分别为：①对任意一个数，它的绝对值都是正数．②∀x∈Z，x2－1≥0.其否定都变成了全称命题． (2)特称命题否定后的命题与原特称命题的真假性有什么关系？ 提示　特称命题的否定与原特称命题的真假性相反. 题型一　全称命题与特称命题的判定 　判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示． (1)对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1； (2)存在一条直线，其斜率不存在； (3)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解； (4)存在实数x0，使得＝2. 【自主解答】　(1)是全称命题，用符号表示为“∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1”． (2)是特称命题，用符号表示为“∃直线l，l的斜率不存在”． (3)是全称命题，用符号表示为“∀a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”． (4)是特称命题，用符号表示为“∃x0∈R，＝2”． ●规律总结 判断一个语句是全称命题还是特称命题的思路 1．判断下列命题属于全称命题还是特称命题，并用数学量词符号改写下列命题： (1)任意的m>1，方程x2－2x＋m＝0无实数根； (2)存在一对实数x，y，使2x＋3y＋3>0成立； (3)存在一个三角形没有外接圆．[来源:学|科|网Z|X|X|K] 解析　(1)任意的m>1，方程x2－2x＋m＝0无实数根，是一个全称命题，用符号表示为：∀m>1，方程x2－2x＋m＝0无实数根； (2)存在一对实数x，y，使2x＋3y＋3>0成立，是一个特称命题，用符号表示为：∃一对实数x，y，使2x＋3y＋3>0成立