第三章 空间向量与立体几何 章末整合提升-2020-2021学年高中数学选修2-1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

答案　①数乘运算　②空间向量的数量积　③垂直　④夹角　⑤数乘结合律　⑥线面关系　⑦点面距 题型一　空间向量的概念及运算 　(1)已知3a－2b＝(－2,0,4)，c＝(－2,1,2)，a·c＝2，|b|＝4，则cos〈b，c〉＝________. (2)如图，在正方形ABCD中，已知AB＝2，M为BC的中点，若N为正方形内(含边界)任意一点，则·的最大值为________． 【解析】　(1)(3a－2b)·c＝(－2，0，4)·(－2，1，2)＝12，即3a·c－2b·c＝12. 由a·c＝2，得b·c＝－3. 又∵|c|＝3，|b|＝4，∴cos〈b，c〉＝＝－. (2)由数量积公式得·＝||·||cos〈，〉，||cos〈，〉表示向量在向量的方向上的投影，要使·值最大，只需||cos〈，〉最大，又因为点N在正方形内(含边界)，所以当点N与C重合时，过点C作CH⊥AM，垂足为H，得||cos〈，〉＝||最大，故由AB＝2，M为BC的中点可得||＝， ||＝||＋||＝＋||cos∠CMH＝＋cos∠AMB＝＋， 所以，·的最大值为6. 【答案】　(1)－　(2)6 ●规律总结 空间向量运算的几何意义 (1)加法、减法：其几何意义体现在平行四边形法则与三角形法则中． (2)数乘运算：其几何意义体现的是在有向直线上的向量长度与方向的转化． (3)数量积公式：其几何意义体现在夹角与模的理解上．如利用|a|2＝a·a可以解决线段长度问题，在单位向量e方向上的投影为||cos〈，e〉． 题型二　空间向量与平行垂直问题 　如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.求证： (1)平面PQC⊥平面DCQ； (2)PC∥平面BAQ. 【证明】　如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D­xyz. (1)依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，则＝(1,1,0)，＝(0,0,1)，＝(1，－1,0)，所以·＝0，·＝0，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC. 故PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC， 所以平面PQC⊥平面DCQ. (2)根据题意，＝(1,0,0)，＝(0,0,1)，＝(0,1，0)，故有·＝0，·＝0，所以为平面BAQ的一个法向量． 又因为＝(0，－2,1)，且·＝0， 即DA⊥PC，且PC⊄平面BAQ，故有PC∥平面BAQ. ●规律总结 用空间向量判断空间中位置关系的类型与方法总结 (1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． (2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直． (3)线面平行：用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面内找到的一个向量与直线的方向向量是共线向量． (4)线面垂直：用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． (5)面面平行：①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； ②转化为线面平行、线线平行问题． (6)面面垂直：①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 题型三　利用空间向量求空间角 　(2018·江苏)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点． (1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值； (2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值． 【解析】　[来源:学科网] 如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，连接OB，OO1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以为基底，建立空间直角坐标系O－xyz.因为AB＝AA1＝2，所以A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)． (1)因为P为A1B1的中点，所以P，从而＝，＝(0,2,2)， 故|cos 〈，〉|＝＝＝. (2)因为Q为BC的中点，所以Q， 因此＝，＝(0,2,2)，＝(0,0,2)． 设n＝(x，y，z)为平面AQC1的法向量， 则即 不妨取n＝(，－1,1)． 设直线CC1与平面AQC1所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝＝， 所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为. ●规律总结 用空间向量求空间角的方法 (1)求异面直线所成的角：设两异面直线的方向向量分别为n1，n2，那么这两条异面直线所成的角为θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|. (2)求二面角的大小： 如图，设平面α，β的法向量分别为n1，n2，因为两平