第二章 圆锥曲线与方程 章末整合提升-2020-2021学年高中数学选修2-1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

答案　①＋＝1(a>b>0)　②＋＝1(a>b>0)　③(±a,0)，(0，±b)或(0，±a)，(±b,0)　④2a　⑤2b　⑥(－c,0)，(c,0)　⑦2c　⑧　⑨－＝1(a，b>0)　⑩y＝±x　⑪y＝±x　⑫y2＝±2px(p>0)　⑬x2＝±2py(p>0)　⑭　⑮y＝± 题型一　求曲线的方程 　设λ＞0，点A的坐标为(1,1)，点B在抛物线y＝x2上运动，点Q满足＝λ，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足＝λ，求点P的轨迹方程． 【解析】　由＝λ知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，则x2－y0＝λ(y－x2)，即y0＝(1＋λ)x2－λy.① 再设B(x1，y1)，由＝λ，即(x－x1，y0－y1)＝λ(1－x,1－y0)， 解得② 将①式代入②式，消去y0， 得③ 又点B在抛物线y＝x2上，所以y1＝x，再将③式代入y1＝x，得(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝[(1＋λ)x－λ]2，(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝(1＋λ)2x2－2λ(1＋λ)x＋λ2,2λ(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ(1＋λ)＝0. 因为λ＞0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x－y－1＝0. 故所求点P的轨迹方程为y＝2x－1. ●规律总结 求轨迹方程的几种常用方法 (1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式． (2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x，y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x，y之间的关系式． (3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程． (4)参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x，y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程． 题型二　圆锥曲线的定义及应用 　双曲线16x2－9y2＝144的左、右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝64，求△PF1F2的面积． 【解析】　双曲线方程16x2－9y2＝144化为－＝1，即a2＝9，b2＝16，所以c2＝25， 解得a＝3，c＝5，所以F1(－5,0)，F2(5,0)． 设|PF1|＝m，|PF2|＝n， 由双曲线的定义知|m－n|＝2a＝6，又已知m·n＝64，在△PF1F2中，由余弦定理知 cos∠F1PF2＝ ＝＝ ＝＝. 所以∠F1PF2＝60°， 所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2 ＝m·n·sin 60°＝16， 所以△PF1F2的面积为16. ●规律总结 “回归定义”解题的三点应用[来源:学§科§网Z§X§X§K] 应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程； 应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决； 应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决． 题型三　圆锥曲线的方程与性质的应用 　(1)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为 A.　　　　B．5　　　　 C.　　　　D．2 (2)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________． 【解析】　(1)渐近线方程为ay±bx＝0.∵F(c,0)，d＝＝2a，∴|b|＝2a，∴c2－a2＝4a2，∴e＝＝. (2)∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同， ∴c＝4.∵e＝＝2，∴a＝2，∴b2＝12，∴b＝2. ∵焦点在x轴上，∴焦点坐标为(±4,0)， 渐近线方程为y＝±x， 即y＝±x，化为一般式为x±y＝0. 【答案】　(1)A　(2)(±4,0)　x±y＝0 ●规律总结 1．圆锥曲线的主要性质 圆锥曲线的主要性质包括范围、对称性、焦点、顶点、长短轴(椭圆)、实虚轴(双曲线)、渐近线(双曲线)、离心率和准线(抛物线)． 2．“三法”应对离心率 (1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法． (2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方