第二章 §2.4-§2.4.2 第1课时 抛物线的简单几何性质-2020-2021学年高中数学选修2-1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§2.4.2　抛物线的简单几何性质 第1课时　抛物线的简单几何性质 [课标要求] 1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．(重点) 2．会用抛物线的简单性质解决与抛物线相关的问题．(难点) 3．会用方程、数形结合思想解决直线与抛物线的位置关系、弦长及焦点弦、中点弦等问题．(重点、难点) [基础梳理] 抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形 性 质 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0[来源:Z,xx,k.Com] 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 顶点 原点 离心率 e＝1 [要点探究] 知识点　抛物线的几何性质 探究1：观察下列图形，探究以下问题：[来源:Z#xx#k.Com] (1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？ 提示　抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心． (2)根据图形及抛物线方程y2＝2px(p>0)，如何确定横坐标x的范围？ 提示　由抛物线y2＝2px(p>0)有所以x≥0.所以抛物线的范围为x≥0.抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 探究2：观察下面表格，探究以下问题： 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 (1)抛物线是中心对称图形吗？它有渐近线吗？ 提示　抛物线不是中心对称图形，也没有渐近线． (2)观察表中抛物线图象上的点与焦点和准线的距离的联系，结合抛物线离心率的概念探究抛物线离心率的大小． 提示　抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率，通过抛物线的定义及图形特点易得抛物线的离心率为1. (3)观察图形，分析抛物线的顶点坐标，以及对称轴分别是什么？ 提示　①所有抛物线的标准形式都有顶点(0,0)．②焦点在x轴上时抛物线图象关于x轴对称，焦点在y轴上时抛物线图象关于y轴对称. 题型一　抛物线方程及其几何性质 　(1)已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y2＝6x上，O是坐标原点，则△AOB的边长为________． (2)已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程． 【自主解答】　(1)设△AOB的边长为a，则 A，∴＝6×a.∴a＝12. (2)由题意，设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，则焦点F，直线l：x＝，∴A，B两点的坐标分别为，，∴AB＝|a|.∵△OAB的面积为4，∴··|a|＝4，∴a＝±4，∴抛物线的方程为y2＝±4x. 【答案】　(1)12　(2)y2＝±4x ●规律总结 利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题． (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题． (4)焦点：解决焦点弦问题． 1．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴重合于椭圆＋＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的方程． 解析　∵椭圆＋＝1的焦点在y轴上， ∴椭圆＋＝1短轴所在的直线为x轴． ∴抛物线的对称轴为x轴．∴设抛物线的方程为y2＝mx(m≠0)，∴＝5，∴m＝±20. ∴所求抛物线的方程为y2＝20x或y2＝－20x. 题型二　焦半径和焦点弦问题 　(1)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于 A．10　　　　B．8　　　　 C．6　　　　 D．4 (2)已知抛物线y2＝2px(p>0)，直线l经过其焦点且与x轴垂直，并交抛物线于A，B两点，若|AB|＝10，P为抛物线的准线上一点，则△ABP的面积为 A．20 B．25 C．30 D．50 【自主解答】　(1)由抛物线y2＝4x，得p＝2， 设抛物线的焦点为F，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8. (2)因为直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点且与x轴垂直，并且交抛物线于A，B两点，则|AB|＝2p＝10，所以p＝5，故抛物线的方程为y2＝10x.P为抛物线的准线上一点，P到直线AB的距离为p＝5，则△ABP的面积为×10×5＝25. 【答案】　(1