专题2 3.2.2抛物线的简单几何性质学案-2020-2021学年高中数学选修2-1抛物线专题（北师大版）

3.2.2抛物线的简单几何性质 【教学目标】 重点、难点 重点：掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方 程和一些实际应用。 难点：抛物线各个知识点的灵活应用 学科素养 数学源于生活,高于生活,学习数学的最终目的是应用于生活(回归生活),通过平时教学,注意这方面的渗透,培养学生解决实际问题的能力。 【知识清单】 抛 物 线 EMBED Equation.3 定义 平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线。 { =点M到直线 的距离} 范围 对称性 关于 轴对称 关于 轴对称 焦点 ( ,0) ( ,0) (0, ) (0, ) 焦点在对称轴上 顶点 离心率 =1 准线 方程 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。 顶点到准线的距离 焦点到准线的距离 焦半径 焦 点弦 长 焦点弦 的几条性质 以 为直径的圆必与准线 相切 若 的倾斜角为 ，则 若 的倾斜角为 ，则 切线 方程 【经典例题】 例1求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）顶点在原点，焦点是 ； （2）顶点在原点，准线是 ； （3）焦点是 ，准线是 ； （4）顶点在原点，关于x轴对称，顶点与焦点的距离等于6． 例1（1） ；（2） ；（3） ；（4） . 【解析】 【分析】 （1）判断焦点位置，设出抛物线方程，根据焦点求解出抛物线的标准方程； （2）根据准线判断焦点位置，设出抛物线方程，根据准线方程求解出抛物线的标准方程； （3）根据焦点和准线设出抛物线方程，根据焦点坐标即可求解出抛物线的标准方程； （4）先判断出顶点位置，然后设出抛物线的标准方程，利用已知条件求解出抛物线的标准方程. 【详解】 （1）因为焦点在 轴正半轴，设抛物线方程 ，所以 ，所以 ， 所以抛物线的标准方程为 ； （2）因为准线 ，所以焦点在 轴负半轴，设 ，所以 ，所以 ， 所以抛物线的标准方程为 ； （3）由条件可知抛物线的焦准距被坐标原点平分，所以抛物线的顶点在坐标原点，设抛物线方程 ， 所以 ，所以 ，所以抛物线的标准方程为 ； （4）设抛物线的标准方程为 ，所以 ，所以 ， 所以抛物线的标准方程为： . 【点睛】 本题考查根据已知条件求解抛物线的标准方程，主要考查学生的分析与计算能力，难度较易. 例2．根据下列条件分别写出抛物线的标准方程： （1）焦点是 ； （2）焦点到准线的距离为 ，焦点在 轴的正半轴上. 例2．（1）y2=－4x；（2）x2=y. 【解析】 【分析】 （1）由焦点是 知抛物线焦点在x轴负半轴上，可以设抛物线的标准方程为y2=2px（p＞0），根据抛物线的焦点计算公式即可得到p的值； （2）设焦点在y轴的正半轴上的抛物线的标准方程为x2=2py(p＞0)，则焦点坐标为 ，准线为 ，根据焦点到准线的距离是 ，可求得p的值，进而求出结果. 【详解】 （1）由焦点是 知抛物线焦点在x轴负半轴上，设y2=－2px(p＞0)， 且 =1，则p=2，故抛物线的标准方程为y2=－4x； （2）设焦点在y轴的正半轴上的抛物线的标准方程为x2=2py(p＞0)， 则焦点坐标为 ，准线为 ， 则焦点到准线的距离是 ， 因此所求的抛物线的标准方程是x2=y. 【点睛】 本题是一道有关抛物线的题目，应掌握抛物线的标准方程，焦点的位置是易错点，属基础题. 例3：已知曲线 上有一点 ，定点 ，求线段 中点 的轨迹方程。 例3： 【解析】 【分析】 设出 ，根据中点坐标公式求出点 ，把点 代入即可求解 【详解】 设 ，因为 ，点 为 中点 所以 ，代入已知曲线得： 所以点 的轨迹方程为 【点睛】 本题考查代入法求解析式，属于基础题。 例4：已知动圆P过定点 ，且在y轴上截得的弦长为4． （Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹E的方程； （Ⅱ）设 ，A、B、C为轨迹E上三个点（点A在第一象限），若四边形 为菱形，求B点坐标． 例4：（Ⅰ） ；（Ⅱ） 或 【解析】 【分析】 （Ⅰ）设圆心P ，根据题意可得 ，解方程即可求解. （Ⅱ）设 ， ，菱形的中心 ，讨论 与 轴是否垂直，当垂直时，根据菱形的性质可得B点，当 与 轴不垂直时，设出直线 的方程： ，从而得到 的斜率，将 与 分别与抛物线联立，求出 即可求解. 【详解】 （Ⅰ）设圆心P ， 由题意可得 ， 整理可得 ， 所以动圆圆心P的轨迹E的方程为： . （Ⅱ）设 ， ，菱形的中心 ， 当 轴，则 在坐标原点， 即 ， 当 与 轴不垂直时， 设直线