第二章 §2.4-§2.4.1 抛物线及其标准方程-2020-2021学年高中数学选修2-1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§2.4　抛物线 §2.4.1　抛物线及其标准方程 [课标要求] 1.掌握抛物线的定义及四种标准方程．(重点) 2．理解抛物线标准方程中参数p的几何意义．(易混点) 3．会根据抛物线标准方程求该抛物线的焦点坐标、标准方程，并会求抛物线的标准方程．(重点、难点) [基础梳理] 1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 y2＝2px (p>0) x＝－ y2＝－2px (p>0)[来源:学科网ZXXK] x＝ x2＝2py (p>0) y＝－ x2＝－2py (p>0) y＝ [要点探究] 知识点一　抛物线的定义 探究1：观察图示，根据抛物线的定义探究以下问题： (1)抛物线的定义中规定直线l不经过点F，若直线l经过点F，那么动点的轨迹是什么图形？ 提示　动点的轨迹是过点F与动直线l垂直的一条直线． (2)物理学中和前面的数学学习中的抛物线分别是怎样的定义？ 提示　在物理学中，抛物线被认为是斜抛物体的运动轨迹；前面的数学学习中抛物线是二次函数的图象． 探究2：在用直尺、三角板与细绳画抛物线的实验中，若增大点F到直尺L的距离，重复刚才的实验，比较一下，曲线有什么变化？再缩小这个距离试一试．这说明了什么？ 提示　随着点F到直尺L的距离逐渐增大，曲线的开口由小变大；若缩小点F到直尺L的距离，曲线的开口由大变小． 知识点二　抛物线的标准方程 探究1：结合轨迹方程的求法，根据不同的建系要求完成各题，明确不同建系标准对抛物线方程的影响以及抛物线标准方程的特征． (1)以K为原点，定直线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系(如图1)，此时可得曲线方程为：y2＝2px－p2(p>0)． (2)以F为原点，过F且垂直于定直线L的直线为x轴(如图2)，此时可得方程：y2＝2px＋p2(p>0)． (3)以垂线段KF的中点为原点，KF所在的直线为x轴(如图3)，此时可得方程：y2＝2px(p>0)．[来源:Z*xx*k.Com] (4)如果以KF的中点为原点，KF所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，可得方程：x2＝2py(p>0)． 探究2：根据抛物线的标准方程，探究以下问题： (1)抛物线的开口方向与哪个量有关系？ 提示　与一次项及其系数的正负有关． (2)抛物线的标准方程中，参数p的几何意义是什么？ 提示　焦点到准线的距离． (3)要确定抛物线的解析式，需要确定的量是什么？ 提示　确定焦点的位置及2p的值. 题型一　求抛物线的焦点及准线 　求下列抛物线的焦点坐标及准线方程． (1)y＝x2；(2)x＝y2(a≠0)． 【自主解答】　(1)抛物线y＝x2的标准形式为x2＝4y，所以p＝2，所以焦点坐标是(0,1)，准线方程是y＝－1. (2)抛物线x＝y2的标准形式为y2＝ax，所以p＝，故焦点在x轴上，坐标为，准线方程为x＝－. ●规律总结 (1)先将抛物线方程化成标准形式，再判断开口方向、焦点位置，准确地求出p值． (2)抛物线y2＝2ax(a≠0)的焦点坐标，准线x＝－，不必讨论a的正负．这个结论要掌握． 1．求抛物线ay2＝x(a≠0)的焦点坐标与标准方程． 解析　把抛物线方程ay2＝x(a≠0)化为标准形式为y2＝x，所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为x＝－. 题型二　求抛物线的标准方程 　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为2x＋4＝0； (2)焦点在x轴的正半轴，并且过点(3，－4)． 【自主解答】　(1)准线方程为2x＋4＝0，即x＝－2，故抛物线焦点在x轴的正半轴上，设其方程为y2＝2px(p>0)． 又＝2，所以2p＝8，故抛物线的标准方程为y2＝8x. (2)∵由题意设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)， 把点(3，－4)的坐标代入y2＝2px，得(－4)2＝2p·3，即2p＝，∴所求抛物线的标准方程为y2＝x. ●规律总结 求抛物线标准方程的方法 (1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程． (2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2＝mx或x2＝ny，利用已知条件求出m，n的值． 2．焦点在x轴正半轴上，且抛物线上一点A(3，m)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为 A．y2＝8x　　　　　　　B．y2＝6x C．y2＝4x D．y2＝2x 解析　设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，∵A(3，m)到焦点的距离为5，∴＋3＝5，∴p＝4，∴抛物线的标准方程为y2＝8x. 答案　A 题型三