第二章 §2.4-§2.4.2 第2课时 抛物线方程及性质的应用-2020-2021学年高中数学选修2-1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

第2课时　抛物线方程及性质的应用 题型一　直线与抛物线的位置关系 　当k为何值时，直线y＝kx＋k－2与抛物线y2＝4x有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？ 【自主解答】　直线与抛物线的位置关系是通过它们的方程构成的方程组的解的情况来判断的． 由，得k2x2＋2(k2－2k－2)x＋(k－2)2＝0. 当k＝0时，方程化为一次方程，－4x＋4＝0， 该方程只有一解x＝1，原方程组只有一组解， ∴直线y＝－2与抛物线只有一个公共点； 当k≠0时，二次方程的Δ＝4(k2－2k－2)2－4k2(k－2)2＝－16(k2－2k－1)， 当Δ＞0时，得k2－2k－1＜0,1－＜k＜1＋， ∴当1－＜k＜0或0＜k＜1＋时， 直线与抛物线有两个公共点； 由Δ＝0得k＝1±，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点；[来源:Z,xx,k.Com][来源:学科网] 由Δ＜0得k＜1－或k＞1＋，此时直线与抛物线无公共点． 综上，当k＝0或k＝1±时，直线与抛物线仅有一个公共点；当1－＜k＜0或0＜k＜1＋时，直线与抛物线有两个公共点；当k＜1－或k＞1＋时，直线与抛物线无公共点． ●规律总结 对于直线y＝kx＋b(k∈R)，抛物线y2＝2px(p＞0)，解决二者位置关系的方法是联立两个方程消去y得到关于x的方程k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0，则 (1)当k＝0时，直线与抛物线只有一个公共点； (2)当k≠0时，若根的判别式Δ＞0，则直线与抛物线有两个公共点；若Δ＝0，则直线与抛物线有一个公共点；若Δ＜0，则直线与抛物线无公共点． 1．过点(0，－1)的直线与抛物线x2＝－2y公共点的个数为 A．0　　　 　B．1　　　 　C．2　　　 　D．1或2 解析　因为点(0，－1)在抛物线内部，故过该点的直线斜率不存在时，与抛物线有一个公共点，是相交的，斜率存在时，有两个公共点，因此公共点的个数是1或2. 答案　D 题型二　抛物线的弦长问题 　已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在直线的方程． 【自主解答】　如图所示，抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，A，B到准线的距离分别为dA，dB，由抛物线的定义知，|AF|＝dA＝x1＋，|BF|＝dB＝x2＋，于是|AB|＝x1＋x2＋p＝p，x1＋x2＝p.当x1＝x2时，|AB|＝2p<p，所以直线AB与Ox不垂直． 设直线AB的方程为y＝k. 由得k2x2－p(k2＋2)x＋k2p2＝0，x1＋x2＝＝p，解得k＝±2，所以直线AB的方程为y＝2或y＝－2. ●规律总结 过焦点的弦长的求解方法 设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p，然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可． 2．已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是[来源:Zxxk.Com] A.或 B.或 C.或 D. 解析　抛物线的焦点为.设直线方程为y＝k，与方程y2＝6x联立得：4k2x2－(12k2＋24)x＋9k2＝0.设直线与抛物线交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∴x1＋x2＝，∴x1＋x2＋3＝＋3＝12， ∴k2＝1，∴k＝±1. 故弦所在直线的倾斜角是或π. 答案　B 题型三　与抛物线有关的中点弦问题 　已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(1,2)所平分． (1)求抛物线E的方程； (2)求直线AB的方程． 【解析】　(1)由于抛物线的焦点为(1,0)， 所以＝1，p＝2. 故所求的抛物线方程为y2＝4x. (2)解法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y＝4x1　①，y＝4x2　②， 且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2， 由②－①得(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)， 所以＝2， 所以所求直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，k≠0， 即2x－y－3＝0. 解法二　显然AB不垂直于x轴， 故可设弦AB所在的直线方程为y－1＝k(x－2)，k≠0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，k≠0， 联立方程 消去x整理得ky2－4y－8k＋4＝0，所以y1＋y2＝. 又M点是AB的中点，所以y1＋y2＝2，所以k＝2， 故直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0. ●规律总结 “中点弦”问题解题策略两法 3．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)．直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为________． 解析　抛物线的方程为y