第二章 §2.3-§2.3.2 双曲线的简单几何性质-2020-2021学年高中数学选修2-1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§2.3.2　双曲线的简单几何性质 [课标要求] 1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点) 2．能运用双曲线的几何性质解决一些简单问题．(难点、易错点) [基础梳理] 1．双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R 焦点 F1(－c,0)、F2(c,0)[来源:学#科#网Z#X#X#K] F1(0，－c)、F2(0，c) 顶点 A1(－a,0)、A2(a,0) A1(0，－a)、A2(0，a) 焦距 |F1F2|＝2c(a2＋b2＝c2) 轴长 实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b 对称性 关于x轴、y轴、原点对称，既是轴对称图形，又是中心对称图形 渐近线 ±＝0 ±＝0 离心率 e＝＝(e>1)[来源:Z,xx,k.Com] 2.等轴双曲线 (1)实轴和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． (2)等轴双曲线的渐近线方程为y＝±x，离心率e＝. [要点探究] 知识点一　双曲线的范围、对称性、顶点 探究1：观察图形，探究下面问题． (1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么它是否与椭圆一样有范围限制？ 提示　有限制，因为≥1，即x2≥a2，所以x≥a或x≤－a. (2)观察双曲线图形，它是否是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是否是中心对称图形？对称中心是哪个点？ 提示　关于x轴、y轴和原点都是对称的，x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心． 探究2：完成下列问题，明确双曲线的顶点具有的特点． (1)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，这种说法对吗？为什么？ 提示　不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线的对称轴，此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点． (2)双曲线有几个顶点？它的顶点和焦点能在虚轴上吗？ 提示　有两个顶点，但它的顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在实轴上． 知识点二　双曲线的渐近线和离心率 探究1：研究双曲线－＝1的方程，并探究下列问题． (1)在位于第一象限内的双曲线上找一点M，点M的横坐标xM与它到直线－＝0的距离d有什么关系？ 提示　设M(xM，yM)(xM>0，yM>0)，由点到直线的距离可得d＝，又有－＝1， 所以d＝＝ ＝. 所以点M向远处运动，随着xM增大，d就逐渐减小． (2)d能否为0？这说明什么？ 提示　不能．若d＝0，则双曲线与直线－＝0相交，设交点坐标为M(x0，y0)，则－＝0，又－＝＝0≠1， 所以点M不在双曲线上，所以d≠0. 这说明双曲线上的点在远离原点时无限接近这条直线但永远不能到达这条直线． 探究2：观察图形，探究下列问题． (1)能不能用a，b表示双曲线的离心率？ 提示　能．e＝＝＝. (2)双曲线的离心率的大小如何决定双曲线的开口大小？ 提示　由于e＝，所以＝＝，因此离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小．离心率越大，开口越开阔；离心率越小，双曲线开口越扁狭. 题型一　双曲线的简单几何性质 　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． 【自主解答】　将9y2－4x2＝－36变形为－＝1， 即－＝1，∴a＝3，b＝2，c＝，因此顶点为A1(－3，0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程：y＝±x＝±x. ●规律总结 由双曲线的方程研究几何性质的基本思路 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质． 1．求双曲线y2－2x2＝1的焦点坐标和渐近线方程． 解析　双曲线方程化为标准方程形式为－＝1. ∴a2＝1，b2＝，焦点在y轴上，∴a＝1，b＝，c2＝，c＝.所以焦点坐标为F1，F2，渐近线方程为y＝±x. 题型二　利用双曲线的几何性质求其标准方程 　求适合下列条件的双曲线标准方程． (1)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x； (2)经过点M(－3,2)，且与双曲线－＝1有共同的渐近线． 【自主解答】　(1)当焦点在x轴上时，由＝且a＝3，∴b＝，∴所求双曲线方程为－＝1；当焦点在y轴上时，由＝且a＝3，∴b＝2. ∴所求双曲线方程为－＝1. (2)解法一　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x. 设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)． 由题意得∴ ∴所求双曲线的标准方程为－＝1； 设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)． 由题意得此方程组无解． 综上可知，双曲线的标准方程为－＝1.