专题2 双曲线简单的几何性质学案-2020-2021学年高中数学选修2-1双曲线专题（北师大版）

专题2 双曲线简单的几何性质（解析版） 【教学目标】 重点、难点 重点：双曲线的性质。． 难点：双曲线的渐近线 学科素养 让学生充分体验探索、发现数学知识的过程，深刻认识“数”与“形”的关系，培养学生勇于攀登科学高峰的精神。 【知识清单】 1、定义：平面内与两个定点 INCLUDEPICTURE "../../../Local%20Settings/Temp/ksohtml/wps1CD.tmp.png" \* MERGEFORMAT ，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．即：。 这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 2、双曲线的几何性质： 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 或， 或， 顶点 、 、 轴长 虚轴的长    实轴的长 焦点 、 、 焦距 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 离心率 ，越大，双曲线的开口越阔 渐近线方程 5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 【经典例题】 例1．过双曲线 的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段 (O为原点)的垂直平分线上，求双曲线的离心率. 【答案】 . 【解析】 【分析】 设F为右焦点，过F作 垂直于一条渐近线，垂足为P，过P作 于M.由射影定理知 ，可得 的关系，可求得双曲线的离心率. 【详解】 如图所示，不妨设F为右焦点，过F作 垂直于一条渐近线，垂足为P，过P作 于M. 由已知得M为 的中点，由射影定理知 ， 又 ，渐近线 的方程为 ，所以 ，于是 ， 即 ，因此 ，故 . 【点睛】 本题考查双曲线的简单的几何性质，求双曲线的离心率，属于基础题. 例2．若点 是双曲线 上的点，试求该双曲线的实轴长､虚轴长､焦距､焦点坐标､顶点坐标､离心率､渐近线方程. 【答案】实轴长 ，虚轴长 ，焦距为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，离心率 .渐近线方程为 . 【解析】 【分析】 将点 代入双曲线方程得 ，从而得双曲线的标准方程，得 ，从而可得解. 【详解】 因为点 在双曲线 上， 所以 ，解得 ， 于是双曲线方程为 ， 即 ， 所以双曲线的焦点在x轴上，且 . 因此实轴长 ，虚轴长 ，焦距为 ， 焦点坐标为 ， 顶点坐标为 ， 离心率 . 渐近线方程为 . 【点睛】 本题主要考查了双曲线的标准方程及几何意义，属于基础题. 例3． 已知双曲线 的两条渐近线均和圆C: 相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，求该双曲线的方程 【答案】 【解析】 【分析】 整理出圆的标准方程，可得圆心和半径，即可求出 ，根据相切可知圆心到渐近线的距离为半径可求出 ，即得出双曲线方程. 【详解】 由 EMBED Equation.DSMT4 ， 圆心为 ，半径 ， 又双曲线的渐近线方程为 ，即 ， 由题意可得： EMBED Equation.DSMT4 故所求双曲线方程为 . 【点睛】 本题考查双曲线方程的求法，属于基础题. 例4．已知椭圆 ： . （1）求椭圆 的离心率； （2）等轴双曲线 ： 与椭圆 有相同的焦点，求双曲线 的方程. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）根据标准方程求出 ，根据离心率公式可求得结果； （2）由 且 可得 ，从而可得双曲线 的方程. 【详解】 （1）因为 ， ，所以 所以椭圆的离心率 . （2）因为等轴双曲线 ： 与椭圆 有相同的焦点 所以 且 ，所以 所以双曲线 的方程为 . 【点睛】 本题考查了求椭圆的离心率，考查了等轴双曲线的定义，考查了椭圆与双曲线共焦点问题，考查了求双曲线的标准方程，属于基础题. 例5． 为双曲线 的左、右两焦点，过 作垂直于 轴的直线交双曲线与点P且 ，求双曲线的渐近线方程． 【答案】 【解析】 【分析】 设 ，在 中，根据 ，可以求出 的长，根据双曲线的定义可以求出 ，求出离心率，利用 ，可以求出 之间的关系，最后求出双曲线的渐近线方程. 【详解】 设 ，所以 ， ，由双曲线定义可知： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，所以双曲线的渐近线方程为 . 【点睛】 本题考查了求双曲线的渐近线方程，考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力. 例6．分别求适合下列条件的方程： （1）焦点在 轴上，长轴长为 ，焦距为 的椭圆标准方程； （2）一个焦点为 ，渐近线方程为 的双曲线标准方程. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）求出 、 、 的值，结合椭圆焦点的位置可求得所求椭圆的标准方程； （2）设所求双曲线的方程为 ，化为标准方程，根据该双曲线的一个焦点坐标求得实数 的值，由此可求得所求双曲线