第二章 §2.3-§2.3.1 双曲线及其标准方程-2020-2021学年高中数学选修2-1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§2.3　双曲线 §2.3.1　双曲线及其标准方程 [课标要求] 1.掌握双曲线的定义、几何图形和标准方程．(重点、易混点) 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决一些简单的问题．(重点) [基础梳理] 1．双曲线的定义 自然语言 符号表示 定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线. ＝2a(常数)，其中0＜2a＜|F1F2|. 有关概念 两个定点叫双曲线的焦点．两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 焦点：F1，F2 焦距：|F1F2| 2.双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 [要点探究] 知识点一　双曲线定义 探究1：通过下列问题的处理，体会双曲线的形成过程． (1)若把椭圆定义中的与两定点的“距离之和”改成“距离之差的绝对值”，这时轨迹又是什么曲线？ 提示　双曲线． (2)如图所示|MF1|与|MF2|哪个大？若点M在另一支上呢？ 提示　点M在右支上时，|MF1|>|MF2|，点M在左支上时，|MF1|<|MF2|.[来源:学科网ZXXK] 探究2：双曲线定义如同椭圆一样，规定了参数与两定点之间距离的大小关系，探究下面问题，体会此规定的原因． (1)若0<a<c，动点M的轨迹是什么？ 提示　双曲线． (2)若a＝c，动点M的轨迹又是什么？ 提示　两条射线． (3)若a＝0，动点M的轨迹又是什么？ 提示　线段F1F2的中垂线． (4)若a>c，动点M的轨迹又是什么？ 提示　不存在． 知识点二　双曲线的标准方程 探究1：观察双曲线的标准方程，探究下列问题，明确双曲线标准方程的特点． (1)双曲线的标准方程左右两侧各具有怎样的结构特征？ 提示　双曲线的标准方程左端为两平方项的差，右端为常数1. (2)类比椭圆的标准方程，双曲线的标准方程可以根据x2与y2的分母大小来判断双曲线焦点的位置吗？ 提示　双曲线的焦点位置不是由标准方程中x2与y2的分母大小判断，而是根据x2与y2项的系数的正负区分． (3)双曲线方程中a与b，c的关系是怎样的？ 提示　a与b的大小关系不确定，a<c，且a，b，c满足b2＝c2－a2. 探究2：通过对下列问题的探究，明确确定双曲线标准方程的关键． (1)利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是什么？ 提示　确定参数a，b的值． (2)求双曲线的标准方程时，设出双曲线方程的关键是什么？ 提示　关键是确定焦点的位置，若双曲线的焦点位置不能确定，要分别写出焦点在x轴、y轴上的双曲线的标准方程，不能遗漏. 题型一　双曲线定义的应用 　(1)双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为 A．22或2　　B．7　　　　 C．22　　　　D．2 (2)设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为 A．6 B．12 C．12 D．24 【自主解答】　(1)∵a2＝25，∴a＝5，由双曲线定义可得||PF1|－|PF2||＝10，由题意知|PF1|＝12， ∴|PF1|－|PF2|＝±10，∴|PF2|＝22或2. (2)由已知得2a＝2，又由双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|∶|PF2|＝3∶2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4. 又|F1F2|＝2c＝2，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝0.∴△PF1F2为直角三角形， ∴S△PF1F2＝×6×4＝12. 【答案】　(1)A　(2)B ●规律总结 双曲线中的焦点三角形 双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的△PF1F2称为焦点三角形，令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因|F1F2|＝2c，所以有 (1)定义：|r1－r2|＝2a； (2)余弦定理：4c2＝r＋r－2r1·r2cos θ； (3)面积公式：S△PF1F2＝r1r2sin θ. 一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决． 1．已知双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，点A，B在双曲线右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一个焦点，则△ABF1的周长为 A．2a＋2m B．4a＋2m C．a＋m D．2a＋4m 解析　设△ABF1的周长为C，则C＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝(|AF1|－|AF2|)＋(|BF1|－|BF2|)＋|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝(|AF1|－|AF2|)＋(|BF1|－|BF2|)＋