第二章 §2.2-§2.2.2 第2课时 椭圆方程及性质的应用-2020-2021学年高中数学选修2-1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

第2课时　椭圆方程及性质的应用 题型一　直线与椭圆的位置关系 　当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144. (1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点； (3)有两个公共点？ 【自主解答】　由消去y得，9x2＋16(x＋m)2＝144， 化简整理得，25x2＋32mx＋16m2－144＝0， Δ＝(32m)2－4×25(16m2－144)＝－576m2＋14 400. (1)当Δ＝0时，得m＝±5，直线l与椭圆有且仅有一个公共点； (2)当Δ>0时，得－5<m<5，直线l与椭圆有两个公共点； (3)当Δ<0时，得m<－5或m>5，直线l与椭圆无公共点． ●规律总结 直线与椭圆的位置关系的判断方法 把椭圆方程＋＝1(a>b>0)与直线方程y＝kx＋b联立消去y，整理成形如Ax2＋Bx＋C＝0的形式，对此一元二次方程有： (1)Δ>0，直线与椭圆有两个公共点，称直线与椭圆相交； (2)Δ＝0，直线与椭圆有一个公共点，称直线与椭圆相切； (3)Δ<0，直线与椭圆无公共点，称直线与椭圆相离． 1．直线y＝k(x－2)＋1与椭圆＋＝1的位置关系是 A．相离　　　　　　　　B．相交 C．相切 D．无法判断 解析　直线y＝k(x－2)＋1过定点P(2,1)，将P(2,1)代入椭圆方程左边，得＋<1，∴P(2,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交． 答案　B 题型二　弦长及中点弦问题 　(1)已知椭圆方程是＋＝1，则以A(1,1)为中点的弦MN所在的直线方程为________． (2)如图所示，已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长． 【自主解答】　(1)解法一　易知直线MN的斜率存在，设为k，则其直线方程为y－1＝k(x－1)， 由得(4＋9k2)x2－18k(k－1)x＋9k2－18k－27＝0.又设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)、N(x2，y2)，则x1、x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝＝2，解得k＝－，则所求的直线方程为y－1＝－(x－1)，即4x＋9y－13＝0. 解法二　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＋＝1，① ＋＝1，② ①－②得＝－， ∴k＝＝－＝－＝－. ∴直线l的方程为y－1＝－(x－1)， 即4x＋9y－13＝0. 解法三　设M(x，y)，因为MN的中点为A(1,1)，所以N的坐标为(2－x,2－y)，由M，N都在椭圆上可得＋＝1，① ＋＝1，②[来源:Zxxk.Com] 两式相减得[x2－(2－x)2]＋[y2－(2－y)2]＝0， 化简得直线MN的方程为4x＋9y－13＝0. (2)设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由椭圆方程知a2＝4，b2＝1，c2＝3，所以F(，0)，直线l的方程为y＝x－.将其代入x2＋4y2＝4，化简整理，得5x2－8x＋8＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝. 所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝×＝. 【答案】　(1)4x＋9y－13＝0　(2) ●规律总结 1．解决椭圆中点弦问题的三种方法[来源:学科网] (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式解决． (2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，用其中一个表示另一个可求直线方程或曲线方程． (3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P(x0，y0)，设其一交点为A(x，y)，则另一交点为B(2x0－x,2y0－y)，则两式作差即得所求直线方程． 2．直线与椭圆相交弦的弦长问题 直线与椭圆相交有关弦的问题，主要思路是联立直线和椭圆的方程，得到一元二次方程，然后借助一元二次方程的有关知识解决，有时运用弦长公式，解题时应注意以下几点： (1)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式； (2)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长； (3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况． 2．(1)斜率为1的直线l与椭圆C：＋＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，则直线l的方程为________． (2)(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m＞0)． 证明：k＜－. 解析　(1)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由方程组消去y，得5x2＋2mx＋m2－16＝0. 由题意知Δ＝(2m)2－20(m2－16)>0，且x1＋x2＝－，x1x2＝. 因为|AB|＝＝|x1－x2|＝＝， 所以2－＝2， 解得m＝±2，验证知Δ>0成立， 所以直线l的方程为x－y＋2＝0或x－y－