第二章 §2.2-§2.2.1 椭圆及其标准方程-2020-2021学年高中数学选修2-1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§2.2　椭圆 §2.2.1　椭圆及其标准方程 [课标要求] 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程．(难点) 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．(重点、易错点) [基础梳理] 1．椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． (2)焦点：两个定点F1，F2. (3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|. (4)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|. 2．椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 (－c,0)，(c,0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 [要点探究] 知识点一　椭圆的定义 探究1：通过探讨以下几个问题，初步形成对椭圆的认识． (1)将一条细绳的两端用图钉分别固定在平面内的两个定点F1，F2上，用笔尖将细绳拉紧并运动，在纸上能得到怎样的图形？ 提示　得到一个椭圆． (2)如果调整细绳两端点F1，F2的相对位置，细绳的长度不变，猜想椭圆会发生怎样的变化？ 提示　当细绳两个端点逐步靠近时，所画的椭圆越接近圆，当细绳两端点逐步远离时，所画的椭圆越扁平． (3)绳长能小于两图钉之间的距离吗？ 提示　不能． 探究2：根据探究1中对椭圆的认识及椭圆的定义探讨以下问题： (1)椭圆的定义中为什么要强调在平面内？ 提示　去掉平面的限制后得到的是椭球体． (2)如果已知椭圆方程及椭圆上一点到其中一个焦点的距离，能否得到它到另一焦点的距离？ 提示　能，根据椭圆的定义，椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数，如果已知椭圆上一点到其中一个焦点的距离，可以求出它到另一个焦点的距离． 知识点二　椭圆的标准方程 焦点在x轴上：＋＝1(a>b>0)． 焦点在y轴上：＋＝1(a>b>0)． 探究1：椭圆标准方程的推导过程遵循了求轨迹方程的哪些基本步骤，请完成下列填空． (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标； (2)写出适合条件P(m)； (3)用坐标表示条件P(m)，列出方程； (4)化方程为最简形式． 探究2：推导椭圆的标准方程过程中，对含有的两个根式是怎样处理的？ 提示　将两个根式分开即移项，先变成＝2a－，再两边平方(可消去很多项，简单了很多)． 探究3：通过下列问题的探讨，进一步认识椭圆的标准方程． (1)确定椭圆标准方程的关键是什么？ 提示　先确定参数a，b的值． (2)求椭圆的标准方程时，设出椭圆方程的关键是什么？ 提示　关键是先确定焦点的位置，若椭圆的焦点位置不能确定，要分别写出焦点在x轴、y轴上的椭圆的标准方程，不能遗漏. 题型一　求椭圆的标准方程 　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)经过点A(，－2)和点B(－2，1)． 【自主解答】　(1)由于椭圆的焦点在x轴上， ∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)． ∵2a＝＋＝10，∴a＝5. 又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)解法一　①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 依题意有解得 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. ②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 依题意有解得 因为a>b>0，所以无解． 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 解法二　设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，依题意有解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. ●规律总结 1．求椭圆标准方程的方法 方法 内容 适合题型或条件 定义法 分析条件判断出点的轨迹是椭圆，然后根据定义确定方程 动点满足|MA|＋|MB|＝2a，且2a>|AB| 待定系数法 由题设条件能确定方程类型，设出标准方程，再代入已知数据，求出相关参数 ①已知椭圆上的点的坐标 ②已知焦点坐标或焦点间距离 2.椭圆标准方程的设法技巧 当椭圆的焦点位置不确定时，可设方程为＋＝1(m>0，n>0，且m≠n)，可以避免讨论和繁杂的计算．也可设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)，这种形式在解题中较为方便． 1．求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (2)经过点P和点Q. 解析　(1)由于椭圆的焦点在y轴上， ∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)， ∴⇒ 故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1. (2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，