第一章 三角函数 章末整合提升-2020-2021学年高中数学必修4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

答案　①l＝|α|·R　②S＝l·R＝|α|R2　③sin2α＋cos2α＝1　④tan α＝　⑤正切函数的图象与性质 题型一　同角三角函数的基本关系及诱导公式的应用 1.牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明.在应用中，要注意掌握解题的技巧.比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α. 2.诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限.[来源:Z|xx|k.Com] 3.三角函数式的求值、化简的策略 (1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形. (2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再变形化简. (3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式. [例1]　(1)sincos＝________. (2)已知＝－4，求(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)的值. [解析]　(1)sin＝sin＝－sin＝－； cos＝cos＝cos＝cos＝； 所以sincos＝－×＝－.故填－. (2)解法一　由已知＝－4， 所以2＋tan θ＝－4(1－tan θ)， 解得tan θ＝2. 所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ) ＝4sin θcos θ－sin2θ－3cos2θ[来源:学科网] ＝ ＝＝＝. 解法二　由已知＝－4，解得tan θ＝2. 即＝2， 所以sin θ＝2cos θ. 所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ) ＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ) ＝cos2θ＝ ＝＝. 题型二　三角函数性质与图象的应用 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (1)“五点法”作图 设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得. (2)图象变换 y＝sin xy＝sin(x＋φ) y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ). 2.三角函数的性质 重点应掌握y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)及y＝Atan(ωx＋φ)的相关性质.在研究其相关性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧. (1)三角函数的两条性质 ①周期性：函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为. ②奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋B的形式. (2)求三角函数的单调区间的方法 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间可以通过解不等式方法去解答，即把ωx＋φ视为一个“整体”，分别与正弦函数y＝sin x，余弦函数y＝cos x的单调递增(减)区间对应解出x，即得所求的单调递增(减)区间. [例2]　(1)将函数y＝sin图象上的点P向左平移s(s＞0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则 A.t＝，s的最小值为 B.t＝，s的最小值为 C.t＝，s的最小值为 D.t＝，s的最小值为 (2)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： ωx＋φ 0 π 2π x Asin(ωx＋φ) 0 5 －5 0 ①请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式； ②将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y＝g(x)图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心. [解析]　(1)因为点P在函数 y＝sin的图象上， 所以t＝sin＝sin＝. 又P′在函数y＝sin 2x的图象上， 所以＝sin，[来源:学_科_网] 则2＝2kπ＋或2＝2kπ＋，k∈Z， 得s＝－kπ＋或s＝－kπ－，k∈Z. 又s＞0，故s的最小值为. (2)①根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表： ωx＋φ 0 π 2π x Asin(ωx＋φ) 0 5 0 －5 0 且函数解析式为f(x)＝5sin. ②由①知，f(