第一章 §1.4-§1.4.3 正切函数的性质与图象-2020-2021学年高中数学必修4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

§1.4.3　正切函数的性质与图象 [学习目标] 1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质.(重点) 2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题.(重点、难点) [教材梳理] 正切函数的性质与图象 图象 定义域 值域 R 周期性 π 奇偶性 奇函数 单调性 递增区间，k∈Z 对称性 对称中心坐标，k∈Z [提醒]　正切函数的单调性：正切函数在每一个开区间(k∈Z)上，都是从－∞增大到＋∞，故正切函数在每一个开区间(k∈Z)上是增函数，但不能说函数y＝tan x在定义域内是增函数. [要点探究] ►知识点一　正切函数的图象 【探究】　如图为正切函数y＝tan x，x∈的图象，根据图象回答下面的问题： (1)作正切函数y＝tan x，x∈的图象的三个关键点及两条直线是什么？ (2)直线y＝a与图象的两交点A1，A2之间的距离是多少？ 提示　(1)由图知三个关键点是：，(0，0)，， 两直线为：x＝－和x＝. (2)由图象结合正切函数的周期性可知，两交点之间的距离为π. ►知识点二　正切函数的性质 根据正切函数的图象，探究下面的问题： 【探究1】　由正切曲线可知，正切函数的最小正周期为π，你能根据正切函数的周期推导出函数y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的周期吗？ 提示　因为Atan＝Atan(ωx＋φ＋π)＝Atan(ωx＋φ)，所以由周期函数的定义知，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0，A＞0)的周期为T＝. 【探究2】　正切曲线是对称图形吗？对称中心是什么？ 提示　由函数图象知，正切曲线是中心对称图形，对称中心为，k∈Z.无对称轴. 类型一　正切函数的定义域、值域 [例1]　(1)函数y＝的定义域为________. (2)函数y＝tan，x∈的值域是________.[来源:Zxxk.Com] [自主解答]　(1)要使函数y＝有意义，必须且只需 所以函数的定义域为 . (2)∵－＜x＜，∴－＜2x－＜， 即tan＜1， 故函数的值域为(－∞，1). [答案]　(1) (2)(－∞，1) ◆误区警示 (1)求与正切函数有关的函数定义域要列出使各部分都有意义的不等式(组)，列不等式组一定要全面，否则求出x的范围就不正确. (2)求值域要用换元的思想，把tan x看作可取任意实数的自变量，一是要注意x的范围，再确定tan x的范围. [突破练1] 函数y＝tan(sin x)的定义域为________，值域为________. 解析　∵－＜－1≤sin x≤1＜， ∴函数的定义域为R，值域为[－tan sin 1，tan sin 1] 答案　R　[－tan sin 1，tan sin 1] 类型二　正切函数的单调性(重点突破) [例2]　(链接教材P44例6)(1)求函数y＝tan的单调区间； (2)比较tan与tan的大小. [自主解答]　(1)由kπ－＜x－＜kπ＋，k∈Z得， 2kπ－＜x＜2kπ＋π，k∈Z， 所以函数y＝tan的单调递增区间是，k∈Z. (2)由于tan＝tan＝tan＝－tan， tan＝－tan＝－tan， 又0＜＜＜，而y＝tan x在上单调递增， 所以tan＜tan，－tan＞－tan， 即tan＞tan. [母题变式] 若例2(1)中“y＝tan”改为“y＝tan”再求单调区间. 解析　y＝tan＝－tan， 因为y＝tan的单调减区间为(k∈Z). ◆方法规律 1.运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)运用单调性比较大小关系. 2.求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 (1)若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋，k∈Z，解得x的范围即可. (2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可. [突破练2] tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为________________. 解析　y＝tan x在区间上是单调增函数，且tan 1＝tan(π＋1)，又＜2＜3＜4＜π＋1＜，所以tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1. 答案　tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1 类型三　正切函数图象与性质的应用 [例3]　(1)在区间范围内，函数y＝tan x与函数y＝sin x的图象交点的个数为 A.1　　　　 B.2　　　　 C.3　　　　 D.4 (2)画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断