第一章 §1.4-§1.4.2 第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性、最值-2020-2021学年高中数学必修4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

第2课时　正弦函数、余弦函数的单调性、最值 [学习目标] 1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.(重点) 2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小.(重点、难点) 3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间.(重点) [教材梳理] 正弦函数、余弦函数的图象和性质 正弦函数 余弦函数 图象 值域 [－1，1] [－1，1] 单调性 在(k∈Z)上递增， 在(k∈Z)上递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减 最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1 　　 [点拨]　(1)正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调. (2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值. [要点探究] ►知识点一　正弦、余弦函数的单调性 【探究1】　结合函数y＝sin x，x∈的增区间及减区间，你能写出正弦函数y＝sin x，x∈R的所有增区间及减区间吗？余弦函数y＝cos x，x∈R呢？ 提示　正弦函数y＝sin x的增区间为(k∈Z)，减区间为(k∈Z). 余弦函数y＝cos x的增区间为[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z). 【探究2】　函数y＝sin x在第一象限内是增函数对吗？ 提示　不对.如30°和390°都是第一象限角，30°＜390°，sin 30°＝sin 390°. ►知识点二　正弦、余弦函数的最值 【探究1】　y＝sin x的最大值为1，最小值为－1对吗？ 提示　不对，要看函数的定义域，若x∈时，函数最大值为，最小值为0. 【探究2】　根据函数y＝asin x＋b(a≠0)，x∈R，思考下面的问题： (1)函数的最大、最小值与a有关吗？ (2)如何求该函数的最大、最小值？ 提示　(1)有关. (2)当a＞0时，ymax＝a＋b，ymin＝－a＋b； 当a＜0时，ymax＝－a＋b，ymin＝a＋b. 【探究3】　函数y＝sin x(x∈R)是否有对称轴，是否有对称中心，若有，求出来. 提示　当x∈R时，y＝sin x的图象有对称轴，即过最高点或最低点垂直x轴的直线，对称轴为x＝＋kπ，k∈Z.对称中心即曲线与x轴的交点.对称中心为(kπ，0)，k∈Z. 类型一　正弦、余弦函数的单调性 [例1]　(链接教材P39例5)求函数y＝3sin的单调递减区间. [自主解答]　∵y＝3sin＝－3sin， ∴y＝3sin是增函数时， y＝3sin是减函数. ∵函数y＝sin x在(k∈Z)上是增函数， ∴－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ， 即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z). ∴函数y＝3sin的单调递减区间为(k∈Z). [母题变式1] 若例1中加x∈[0，π]呢，如何求？ 解析　在例1得出结论的基础上，当k＝0时，，故在[0，π]上，函数减区间为. 当k＝1时， 故在[0，π]上，减区间为； 当k≥2或k≤－1均不合题意. 综上，当x∈[0，π]时，函数的减区间为，. [母题变式2] 若例1变为函数y＝3cos的单调增区间为________. 解析　y＝3cos＝3cos， 由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z， 即增区间为，k∈Z. 答案　，k∈Z ◆方法技巧 与正、余弦函数有关的单调区间的求解技巧 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间. (2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间.若ω＜0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数. 类型二　正、余弦函数单调性的应用(重点突破) 命题点1　三角函数函数值的大小比较 [例2-1]　(链接教材P39例4)比较下列各组数的大小. (1)sin 196°与cos 156°； (2)cos与cos. [自主解答]　(1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°. ∵0°＜16°＜66°＜90°，且y＝sin x在0°≤x≤90°上是增函数， ∴sin 16°＜sin 66°， 从而－sin 16°＞－sin 66°