第一章 §1.4-§1.4.2 第1课时 正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性-2020-2021学年高中数学必修4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

§1.4.2　正弦函数、余弦函数的性质 第1课时　正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性 [学习目标] 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.(重点) 2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.(重点) 3.掌握函数y＝sin x、y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.(重点) [教材梳理] 1.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x).这个函数的周期为T. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 y＝sin x y＝cos x 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π 2π 奇偶性 奇函数 偶函数 [点拨]　对函数最小正周期的理解 ①最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小正数，这个正数是对x而言的，如y＝sin 2x的最小正周期是π，因为y＝sin(2x＋2π)＝sin 2(x＋π)，即π是使函数值重复出现的自变量x加上的最小正数，π是对x而言的，而非2x. ②并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f(x)＝C，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期. [要点探究] ►知识点一　函数的周期性 【探究1】　观察f(x)的部分图象，并结合周期函数的定义思考下列问题： (1)观察上图，函数图象每相隔多少个单位重复出现？如何用表达式表示这种关系？ (2)该函数f(x)的最小正周期是________，周期可表示为________. 提示　(1)每相隔1个单位重复出现.用表达式可表示为f(x＋1)＝f(x). (2)1　k(k≠0，k∈Z) 【探究2】　根据周期函数的定义思考下列问题： (1)若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，那么函数f(x)的周期是多少？ (2)若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)(a＞0)，那么函数f(x)的周期是多少？ 提示　(1)由f(x＋a)＝－f(x)， 得f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)， 即f(x)＝f(x＋2a)，所以函数y＝f(x)是一个周期为2a的周期函数. (2)由f(x－a)＝f(x＋a)，得f[(x＋a)－a] ＝f[(x＋a)＋a]＝f(x＋2a)，即f(x)＝f(x＋2a)， 所以函数y＝f(x)是一个周期为2a的周期函数. ►知识点二　函数的奇偶性 【探究】　结合奇偶函数的定义探究下面问题： 判断函数y＝sin|x|的奇偶性并作出[－π，π]上的简图. 提示　f(－x)＝sin |－x|＝sin|x|＝f(x)知f(x)是偶函数，先作出x∈[0，π]上的图象，再关于y轴对称即可作出[－π，π]上的图象. 类型一　三角函数的周期性(重点突破) [例1]　(链接教材P35例2)(1)下列函数是以π为最小正周期的函数是 A.y＝sin x　　　　　　　 B.y＝sin x＋2 C.y＝cos 2x＋2 D.y＝cos 3x－1 (2)求下列函数的最小正周期： ①y＝sin；②y＝|sin x|. [自主解答]　(1)y＝sin x及y＝sin x＋2的最小正周期为2π，y＝cos 2x＋2的最小正周期为π，y＝cos 3x－1的最小正周期为，所以选C. (2)①y＝sin＝sin＝sin， 所以最小正周期为π. ②作图如下： 观察图象可知最小正周期为π. [答案]　(1)C　(2)见自主解答 [母题变式] 若例1(2)中的y＝|sin x|改为y＝sin|x|是否还是周期函数？ 解析　作出函数y＝sin|x|的图象，如图所示： 由图象知，不是周期函数. ◆方法规律 求三角函数周期的方法 (1)定义法：即利用周期函数的定义求解. (2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. (3)观察法：即通过观察函数图象求其周期. [突破练1] 函数f(x)＝cos的最小正周期是________. 解析　T＝＝＝π. 答案　π 类型二　三角函数的奇偶性 [例2]　判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)＝sin； (2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)； (3)f(x)＝. [自主解答]　(1)显然x∈R，f(x)＝cosx， ∵f(－x)＝cos＝cosx＝f(x)，∴f(x)是偶函数. (2)由得－1＜sin x＜1. 解得定义域为. ∴f(x)的定义域关于原点对称. 又∵f(x)＝lg(1－sinx)－