第一章 §1.4-§1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象-2020-2021学年高中数学必修4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

§1.4　三角函数的图象与性质 §1.4.1　正弦函数、余弦函数的图象 [学习目标] 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.(难点) 2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.(重点) 3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.(难点) [教材梳理] 正弦函数、余弦函数的图象 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 图象画法 “五点法” “五点法” 关键五点 (0，0)，，(π，0)，，(2π，0) (0，1)，，(π，－1)，，(2π，1) [要点探究] ►知识点　五点作图法与正弦、余弦曲线 正弦曲线y＝sin x，x∈[0，2π]和余弦曲线y＝cos x，x∈[0，2π]如图示： 【探究1】　观察图象，完成下列探究问题： (1)根据提示完成下列填空： ①正弦曲线y＝sin x，x∈[0，2π]与x轴交点的坐标分别是________，________，________； ②余弦曲线y＝cos x，x∈[0，2π]与x轴交点的坐标分别是________，________；[来源:学。科。网Z。X。X。K] ③余弦曲线y＝cos x，x∈[0，2π]的最高点与最低点坐标分别是________，________，________. (2)用五点作图法作函数图象的三个步骤是什么？ 提示　(1)①(0，0)　(π，0)　(2π，0)　②　　③(0，1)　(2π，1)　(π，－1) (2)⇒⇒ 【探究2】　正弦曲线、余弦曲线之间存在什么关系？ 提示　正弦曲线、余弦曲线的形状是一样的，只是在坐标系中的位置不同，将y＝sin x的图象向左平移个单位便可得到y＝cos x的图象，同理将y＝cos x的图象向右平移个单位便可得到y＝sin x的图象. 【探究3】　在[0，2π]上正弦曲线与余弦曲线交点坐标分别是什么？ 提示　在同一坐标系内作出y＝sin x与y＝cos x，x∈[0，2π]的图象. 交点坐标为，. 类型一　利用“五点法”作简图 [例1]　(链接教材P32例11) (1)函数y＝1－cos x，x∈[0，2π]的大致图象为 (2)用“五点法”画出y＝sin x＋2，x∈[0，2π]的简图. [自主解答]　(1)由特殊点验证，因为y＝1－cos x，x∈[0，2π]过点(π，2)，所以选D. (2)①列表： x 0 π 2π y＝sin x＋2 2 3 2 1 2 ②描点：在坐标系内描出点(0，2)，，(π，2)，，(2π，2). ③作图：将上述五点用平滑的曲线顺次连接起来(实线) [答案]　(1)D　(2)略 ◆方法规律 作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤 [突破练1] 用五点法作函数y＝－cos＋1，x∈[0，2π]的图象时应取的五个关键点是________. 解析　因为y＝－cos＋1＝sin x＋1，x∈[0，2π]，所以应取的五个关键点分别为(0，1)，，(π，1)，，(2π，1). 答案　(0，1)，，(π，1)，，(2π，1) 类型二　正、余弦曲线的简单应用(重点突破) 命题点1　利用正、余弦曲线解不等式 [例2-1]　 利用正弦曲线，求满足＜sin x≤的x的集合. [自主解答]　首先作出y＝sin x在[0，2π]上的图象.如图所示，作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和； 作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和. 观察图象可知，在[0，2π]上， 当＜x≤，或≤x＜时， 不等式＜sin x≤成立. 所以＜sin x≤的解集为 . [母题变式] 把“＜sin x≤”改为“－≤sin x≤”再求x的集合. 解析　利用y＝sin x的图象，可知－≤sin x≤的x的取值为kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以－≤sin x≤的解集为.[来源:学科网ZXXK] ◆方法技巧 用三角函数图象解三角不等式的方法 (1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象； (2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集； (3)根据公式一写出定义域内的解集. 命题点2　正、余弦曲线与其他曲线的交点问题 [例2-2]　方程lg x＝cos x的实根个数有________. [自主解答]　在同一直角坐标系中画出y＝lg x与y＝cos x的大致图象.其中x＞0. 由图象可知函数y＝lg x与y＝cos x有3个交点，故方程lg x＝cos x有3个实根. [答案]　3 ◆方法技巧 (1)确定方程解的个数问题，常借助函数图象用数形结合的方法求解. (2)三角函数的图象是研究函数的重要工具