第一章 §1.2-§1.2.2 同角三角函数的基本关系-2020-2021学年高中数学必修4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

§1.2.2　同角三角函数的基本关系 [学习目标] 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系.(重点) 2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明.(难点) [教材梳理] 同角三角函数的基本关系 1.平方关系 sin2α＋cos2α＝1. 2.商的关系 tan α＝. [拓展]　对同角三角函数基本关系式的理解 (1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立. (2)sin2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写. (3)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立. [要点探究] ►知识点　同角三角函数的基本关系 【探究1】　根据三角函数的定义可以推导平方关系和商数关系. (1)这两个基本关系成立的条件是什么？ (2)这两个基本关系的常用变形有哪些？ 提示　(1)对于平方关系中同角且任意实数；对于商数关系第一保证是同角，第二保证角α≠＋kπ，k∈Z. (2)常用的变形公式： sin2α＋cos2α＝1⇒ tan α＝⇒ 【探究2】　若α为第二象限角，sin α＞0，cos α＜0，故tan α＝－对吗？ 提示　不对，不论α为何角(当然使tan α有意义)，都有tan α＝，不需要由α所在象限确定符号. 类型一　利用基本关系求值(重点突破) 命题点1　已知一个角的三角函数值.求该角的其他三角函数值. [例1-1]　(链接教材P19例6)(1)已知α是第二象限角，且cos α＝－，则tan α的值是 A.　　　 B.－　　　 C.　　　 D.－ (2)已知tan α＝－，则sin α的值为________. [自主解答]　(1)∵α为第二象限角， ∴sin α＝＝＝， ∴tan α＝＝＝－. (2)∵tan α＝－，∴＝， 即＝，解得sin α＝±. [答案]　(1)D　(2)± ◆方法规律 已知角的一个三角函数值求其他三角函数值的方法 (1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系. (2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，有两组结果. 命题点2　弦切互化求值 [例1-2]　已知tan α＝2，则 (1)＝________； (2)＝________； (3)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝________. [自主解答]　(1)注意到分式的分子和分母均是关于sin α，cos α的一次齐次式，可将分子分母同除以cos α(∵cos α≠0)，然后整体代入tan α＝2的值. ＝＝＝－1.故填－1. (2)注意到分式的分子和分母均是关于sin α，cos α的二次齐次式，分子分母同除以cos2α(∵cos2α≠0)，则 ＝＝＝.故填. (3)似乎跟前两题没什么联系，但若能注意到sin2α＋cos2α＝1，则有4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝＝， 这样便使得分子分母均为二次齐次式.同(2)有＝＝＝1.故填1. [答案]　(1)－1　(2)　(3)1 ◆方法技巧 弦切互化求值技巧 (1)关于sin α、cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α转化为关于tan α的式子后再求值. (2)注意(2)式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin2α＋cos2α代换后，再同除以cos2α，构造出关于tan α的代数式. [突破练1] (1)已知sin α＝，并且α是第二象限角，那么tan α的值等于 A.－　　　　　　　　B.－ C. D. (2)已知＝2，则： ①的值为________； ②sin2α－2sin αcos α＋1的值为________. 解析　(1)由于α是第二象限角，根据平方关系易得cos α＝－，所以tan α＝＝－，故选A. (2)由＝2，化得，得sin α＝3cos α， 所以tan α＝3. ①原式＝＝＝. ②原式＝＋1 ＝＋1＝＋1＝. 答案　(1)A　(2)①　② 类型二　三角函数式的化简与证明 [例2]　(链接教材P15例7)求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ＝＋. [自主解答]　 证明　左边＝sin θ＋cos θ ＝sin θ＋＋＋cos θ ＝＋