1.2.2 同角三角函数的基本关系-2021-2022学年高中数学必修4【名师导航】同步Word教参(人教版)

1.2.2　同角三角函数的基本关系 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点) 2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点) 1.通过利用单位圆推导出同角三角函数的基本关系式，培养学生逻辑推理和直观想象素养. 2.通过同角基本关系式的运用，提升学生的运算能力. 1．平方关系 (1)公式：sin2α＋cos2α＝1. (2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 思考：对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？ [提示]　成立．平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关． 2．商数关系 (1)公式：＝tan α. (2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切． 平方关系公式的推导 如图，设P(x，y)根据单位圆中三角函数定义知，sin α＝y，cos α＝x，在Rt△OPM中，OM2＋MP2＝1， 因此x2＋y2＝1， 即sin2α＋cos2α＝1. 1．化简的结果是(　　) A．cos　　　　 B．－cos C．sin D．－sin A　[＝＝＝cos.] 2．若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α的值等于(　　) A．－ B. C．± D．± A　[∵sin α＝且α是第二象限角，∴cos α＝－ ＝－，∴tan α＝＝－.] 3．已知tan α＝，且α∈，则sin α的值是 ． －　[由tan α＝得＝， 即cos α＝2sin α. 又sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1， ∴sin α＝±，又∵α∈，∴sin α＝－.] 4．已知＝2，则sin αcos α的值为 ． 　[由已知得＝2， 解得tan α＝3， ∴sin αcos α＝＝＝＝.] 知一求二 【例1】　(1)已知α∈，tan α＝2，则cos α＝ . (2)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值． 思路点拨：(1)根据tan α＝2和sin2α＋cos2α＝1列方程组求cos α. (2)先由已知条件判断角α是第几象限角，再分类讨论求sin α，tan α. (1)－　[由已知得 由①得sin α＝2cos α代入②得4cos2α＋cos2α＝1， 所以cos2α＝，又α∈， 所以cos α＜0， 所以cos α＝－.] (2)[解]　∵cos α＝－＜0， ∴α是第二或第三象限的角． 如果α是第二象限角，那么 sin α＝＝ ＝， tan α＝＝＝－. 如果α是第三象限角，同理可得 sin α＝－＝－，tan α＝. 利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法： (1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系． (2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果． 提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号． 1．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值． [解]　∵sin α＋3cos α＝0， ∴sin α＝－3cos α. 又sin2α＋cos2α＝1， ∴(－3cos α)2＋cos2α＝1， 即10cos2α＝1， ∴cos α＝±. 又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号， ∴角α的终边在第二或第四象限． 当角α的终边在第二象限时，cos α＝－，sin α＝； 当角α的终边在第四象限时，cos α＝，sin α＝－. 给值求值 [探究问题] 1．齐次式包含齐次分式和齐次关系式，如何由某角的正切值求该角的齐次分式或齐次关系的值？ 提示：在已知某角的正切值的情况下，把齐次式转化为含正切的关系式代入求值． 2．sin α±cos α与sin αcos α有怎样的关系，在求值中能否相互转化？ 提示：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，若含sin α＋cos α＝t，则sin αcos α＝.这三者在求值中是可以转化的． 【例2】　(1)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝ . (2)已知＝2，计算下列各式的值： ①； ②sin2α－2sin αcos α＋1. 思路点拨：(1)法一：→→→ 法二：→ → (2)→ (1)－　[法一：(构建方程组) 因为sin α＋cos α＝，① 所以sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝， 即2sin αcos α＝－. 因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cos α＜0. 所以sin α－cos