第一章 §1.2-§1.2.1 第2课时 任意角的三角函数(二)-2020-2021学年高中数学必修4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

第2课时　任意角的三角函数(二) [学习目标] 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.(重点) 2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.(重点) 3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.(难点) [教材梳理] 1.三角函数的定义域 正弦函数y＝sin x的定义域是R；余弦函数y＝cos x的定义域是R；正切函数y＝tan x的定义域是. 2.三角函数线 图示 正弦线 α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线 余弦线 有向线段OM即为余弦线 正切线 过A(1，0)作x轴的垂线，交α的终边或其终边的反向延长线于T，有向线段AT即为正切线 　　[提醒]　三角函数线都是有向线段.因此在用字母表示这些线段时，也要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序也不能颠倒. [要点探究] 【探究1】　已知任意角α与单位圆交于点P(x，y)，过P点作PM⊥x轴于点M，根据三角函数的定义知：sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)，这些值是否有一定的几何意义呢？请根据图形思考下面的问题： (1)由图知|MP|＝|y|＝|sin α|；|OM|＝|x|＝|cos α|，问怎样规定一个适当的方向使线段OM，MP的取值与点P的坐标一致？ (2)如何在单位圆中找像OM，MP这样的线段来表示角α的正切？ 提示　(1)因为直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关，所以可以以坐标轴的方向来规定线段OM，MP的方向，当OM，MP的方向与坐标轴的方向相同时，规定为 正值；当OM，MP的方向与坐标轴的方向相反时，规定为负值.这样不论P，M的位置在何处，都有其值与点P的坐标一致. (2)如图，过点A(1，0)作单位圆的切线，与角α的终边或反向延长线交于点T，根据相似三角形的知识知：tan α＝＝AT.[来源:学科网ZXXK] 【探究2】　如图为角α，β的三角函数线，请根据图中的三角函数线，完成下列填空：(用“＞”或“＜”填空) (1)sin β______sin α. (2)cos α______cos β. (3)tan β______tan α. 提示　(1)＞　(2)＞　(3)＞ 类型一　三角函数线的作法 [例1]　(链接教材P16内文)在单位圆中画出满足sin α＝的角α的终边.并作出其正弦线、余弦线和正切线. [自主解答]　如图①作直线y＝交单位圆于P，Q，则OP，OQ为角α的终边. 如图②所示，当α的终边是OP时，角α的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT. 当α的终边为OQ时，角α的正弦线为NQ，余弦线为ON，正切线为AT′. ◆方法规律 三角函数线的画法 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线. (2)作正切线时，应从A(1，0)点引x轴的垂线，交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线AT. [突破练1] 作出－的正弦线、余弦线和正切线. 解析　如图所示， sin＝MP，cos＝OM， tan＝AT. 类型二　三角函数线的应用(重点突破) 命题点1　利用三角函数线比较大小 [例2-1]　(1)下列关系式中正确的是 A.sin 10°＜cos 10°＜sin 160° B.sin 160°＜sin 10°＜cos 10° C.sin 10°＜sin 160°＜cos 10° D.sin 160°＜cos 10°＜sin 10° (2)设a＝sinπ，b＝cosπ，c＝tanπ，则a，b，c的大小顺序排列为________. [自主解答]　(1)如图OP2是10°角的终边，OP1是160°角的终边. 显然OM2＞M1P1＞M2P2， 即cos 10°＞sin 160°＞sin 10°，故选C. (2)因为π＋π＝π， 所以π与π的终边关于y轴对称，又π＞，在单位圆中作出π与π的终边， 如图得OM＜MP＝M′P′＜AT， 则cosπ＜sinπ＜tanπ.即b＜a＜c. 答案　(1)C　(2)b＜a＜c ◆方法技巧 三角函数线比较大小的两个关注点 (1)三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值. (2)比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向. 命题点2　利用三角函数线解三角不等式 [例2-2]　在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合. (1)sin α≥；(2)cos α≤－. [自主解答]　(1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的