第一章 §1.2-§1.2.1 第1课时 任意角的三角函数（一）-2020-2021学年高中数学必修4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

§1.2　任意角的三角函数 §1.2.1　任意角的三角函数 第1课时　任意角的三角函数(一) [学习目标] 1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义.(重点) 2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.[来源:学科网ZXXK] 3.通过对任意角的三角函数的定义理解终边相同的角的同一三角函数值相等.(难点) [教材梳理] 1.任意角的三角函数的定义 前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦 y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y 余弦 x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x 正切 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0) 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数 　　[点拨]　三角函数也是函数，都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定. 2.三角函数值的符号 如图所示： 正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负. 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 3.诱导公式一 即终边相同的角的同一三角函数值相等. [拓展]　诱导公式一的实质是：终边相同的角，其同名三角函数的值相等.因为这些角的终边都是同一条射线，根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值相等. [要点探究] ►知识点一　任意角三角函数的定义 根据任意角三角函数的定义，探究下面的问题： 如图P(x，y)为任意角α终边与单位圆的交点. 【探究1】　(1)若α的终边与x轴负半轴重合，则α的终边与单位圆的交点坐标为________，sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. (2)若α的终边与y轴正半轴重合，则α的终边与单位圆的交点坐标为________，sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. 提示　(1)(－1，0)　0　－1　0　(2)(0，1)　1　0　不存在 【探究2】　对于确定的角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在角α终边上的位置改变而改变？ 提示　不会，因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关. ►知识点二　三角函数值在各象限的符号 【探究1】　设P(x，y)为角α终边上任意一点(异于原点)，记r＝|OP|，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)，根据上式探求下面的问题： (1)任意角α的三角函数值的符号与什么有关？ (2)若角α的某个三角函数的符号确定，则角的终边所在象限确定吗？ 提示　(1)与角α终边上一点的横坐标或纵坐标有关. (2)不一定，若已知角α的一个三角函数值的符号，则角α所在的象限可能有两种情况，若已知角α的两个三角函数值的符号，则角α所在的象限就唯一确定. 【探究2】　若sin α＞0，则α的终边落在第几象限？ 提示　当sin α＝1时，角α的终边在y轴的非负半轴上，当sin α＞0且sin α≠1时，角α的终边在第一象限或第二象限. 类型一　三角函数定义的应用(重点突破) [例1]　(链接教材P12例1、例2)(1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. (2)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________. (3)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值. [自主解答]　(1)∵x＝5，y＝－12， ∴r＝＝13， 则sin α＝＝－，cos α＝＝， tan α＝＝－. (2)由题意得r＝＝. 因为sin θ＝－，且点P的横坐标x＝4， 所以θ为第四象限角，则y＜0. 又sin θ＝＝＝－，解得y＝－8. (3)直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，)， 则r＝＝2，所以sin α＝， cos α＝－，tan α＝－； 在第四象限取直线上的点(1，－)， 则r＝＝2， 所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－. 答案　(1)－　　－　(2)－8　(3)见解析 ◆方法技巧 利用三角函数的定义求值的策略 (1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： 法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值.[来源:Z|xx