专题04 证明垂直的方法-2020-2021学年高中数学之立体几何解题技法全指导

证明垂直的方法 证明垂直在每年的高考大题中几乎都有，一般为大题，并且为中档题，所以我们一定要将这个分数得到，为此有必要对这一部分好好归纳总结一下。垂直分为三种：线线垂直、线面垂直、面面垂直。下面对证明它们的方法归纳如下： 一、线线垂直 证明线线垂直的方法主要有以下几种： 1.初中证明线线垂直常用方法有：⑴等腰三角形底边的中线即为高线；⑵菱形的对角线互相垂直；⑶勾股定理逆定理；⑷直径所对的圆周角为直角；⑸垂径定理。 2.利用直线与平面垂直的定义。 例1. 如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过 点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G. 求证：AE⊥SB，AG⊥SD. 变式. 如右图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点． (1)求证：MN⊥AB； (2)若PA＝AD，求证：MN⊥平面PCD. 二、线面垂直 证明线面垂直的方法主要有两种： 1.利用线面垂直的判定定理。 2.利用面面垂直的性质定理。 3．利用结论：a∥b，a⊥α⇒b⊥α。 例2. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD， ∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE． 例3．把一副三角板如图拼接，设BC＝6，∠A＝90°，AB＝AC，∠BCD＝90°，∠D＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：平面ABD⊥平面ACD． 三、面面垂直 证明面面垂直的方法主要是利用面面垂直的判定定理。 例4．如图，三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形， ∠ABC=90°，△PAC是直角三角形，∠PAC=90°，∠ACP=30°，平面PAC⊥平面ABC. 求证：平面PAB⊥平面PBC. 变式. 在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0＜λ＜1)． (1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC； (2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD? 线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化是解决有关垂直证明题的指导思想，其中线线垂直是最基本的，在转化过程中起穿针引线的作用，线面垂直是纽带，可以把线线垂直与面面垂直联系起来。线线垂直与面面垂直不可以直接转化，必须通过线面垂直过渡。 小试牛刀 1．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点． 求证：平面BCE⊥平面CDE. 2．如图，四棱锥S－ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，E，F分别是SD，SC的中点． 求证：(1)BC⊥平面SAB；(2)EF⊥SD. 3．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点． (1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD. 4. 如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足． (1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形． ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $ 证明垂直的方法 证明垂直在每年的高考大题中几乎都有，一般为大题，并且为中档题，所以我们一定要将这个分数得到，为此有必要对这一部分好好归纳总结一下。垂直分为三种：线线垂直、线面垂直、面面垂直。下面对证明它们的方法归纳如下： 一、线线垂直 证明线线垂直的方法主要有以下几种： 1.初中证明线线垂直常用方法有：⑴等腰三角形底边的中线即为高线；⑵菱形的对角线互相垂直；⑶勾股定理逆定理；⑷直径所对的圆周角为直角；⑸垂径定理。 2.利用直线与平面垂直的定义。 例1. 如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过 点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G. 求证：AE⊥SB，AG⊥SD. 分析：要证AE⊥SB，只需证AE⊥平面SBC。 证明:因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.又BC⊥AB，SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB， 又AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE.因为SC⊥平面AEFG，所以SC⊥AE.又BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC，所以AE⊥SB.同理可证AG⊥SD. 点评：要证垂直时，经常是线线垂直、线面垂直多次相互转化，由线线垂直到线面垂直时，往往依据直线与平面垂直的判定定理，由线面垂直到线线垂直时，往往依据线面垂直的定义。 变式. 如右图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是