专题03 证明平行的方法-2020-2021学年高中数学之立体几何解题技法全指导

证明平行的方法 证明平行在每年的高考大题中几乎都有，一般为大题，并且为中档题，所以我们一定要将这个分数得到，为此有必要对这一部分好好归纳总结一下。平行分为三种：线线平行、线面平行、面面平行。下面对证明它们的方法归纳如下： 一、线线平行 证明线线平行的方法主要有以下几种： 1．初中证明线线平行的常用方法：⑴平行四边形的对边平行，⑵三角形（梯形）的中位线， ⑶同位角相等（内错角相等、同旁内角互补）两直线平行，⑷平行线截割定律逆定理。 2.直线与平面平行的性质定理（）。 3.平面与平面平行的性质定理（）。 4.直线与平面垂直的性质定理（） 例1. 在如图所示的几何体中，四边形ACC1A1是矩形，FC1∥BC，EF∥A1C1，点A，B，E，A1在一个平面内，求证A1E∥AB. 变式.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形,M是PC的中点,在DM上取一点G,过点G和AP作一平面交平面BDM于GH. 求证:AP∥GH. 二、线面平行 证明线面平行的方法主要有两种： 1. 利用线面平行的判定定理(aα，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； 2. 利用面面平行的性质定理2(α∥β，a⊂α⇒a∥β)。 例2.：如图，在四面体A－BCD中，F、E、H分别是棱AB、BD、AC的中点，G为DE的中点．证明：直线HG∥平面CEF. 变式. 如图所示，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证：MN∥平面BCE. 三、面面平行 证明面面平行的方法主要有两种： 1.利用面面平行的判定定理（） 2.利用面面平行的判定定理的推论 （） 例3. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点．求证：平面MNP∥平面A1C1B. 变式. 如图，F，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1，AA1的中点， 求证：平面BDF∥平面B1D1H. 小试牛刀 证明平行练习题 1．如图所示，一平面与空间四边形ABCD的对角线AC，BD都平行，且交空间四边形的边AB，BC，CD，DA分别于E，F，G，H. 求证：EFGH为平行四边形； 2．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点． (1)求证：MN∥平面PAD； (2)若MN＝BC＝4，PA＝4，求异面直线PA与MN所成的角的大小． 3．如图所示，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别在PA、BD、PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD. 求证：平面MNQ∥平面PBC. 4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？ ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $ 证明平行的方法 证明平行在每年的高考大题中几乎都有，一般为大题，并且为中档题，所以我们一定要将这个分数得到，为此有必要对这一部分好好归纳总结一下。平行分为三种：线线平行、线面平行、面面平行。下面对证明它们的方法归纳如下： 一、线线平行 证明线线平行的方法主要有以下几种： 1．初中证明线线平行的常用方法：⑴平行四边形的对边平行，⑵三角形（梯形）的中位线， ⑶同位角相等（内错角相等、同旁内角互补）两直线平行，⑷平行线截割定律逆定理。 2.直线与平面平行的性质定理（）。 3.平面与平面平行的性质定理（）。 4.直线与平面垂直的性质定理（） 例1. 在如图所示的几何体中，四边形ACC1A1是矩形，FC1∥BC，EF∥A1C1，点A，B，E，A1在一个平面内，求证A1E∥AB. 证明：∵四边形ACC1A1是矩形，∴A1C1∥AC.又AC⊂平面ABC，A1C1⊄平面ABC， ∴A1C1∥平面ABC.∵FC1∥BC，BC⊂平面ABC，∴FC1∥平面ABC. 又∵A1C1，FC1⊂平面A1EFC1，∴平面A1EFC1∥平面ABC.又∵平面ABEA1与平面A1EFC1、平面ABC的交线分别是A1E，AB，∴A1E∥AB. 点评：本解法利用了平面与平面平行的性质定理。 变式.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形,M是PC的中点,在DM上取一点G,过点G和AP作一平面交平面BDM于GH. 求证:AP∥GH. 证明：连接AC交BD于点O,连接MO. 因为四边形ABCD是平行四边形, 所以O是AC的中 点,又M是PC的中点,所以AP∥OM.而PA⊄平面BDM,OM⊂平面BDM,所以AP∥平面BMD. 因为AP⊂平面PAHG,平面PAHG∩平面BMD=GH,所以AP∥GH. 二、线面平行 证明线面平行的方法主要有两种： 1. 利用