专题02 帮你解决立体几何中的外接球与内切球问题-2020-2021学年高中数学之立体几何解题技法全指导

帮你解决立体几何中的外接球与内切球问题 立体几何中的外接球与内切球问题，有一定难度，需要掌握常见的几种类型，现结合实例介绍如下： 1、 长方体的外接球直径为长方体体对角线长 例1.长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积为( ) A.π B.56π C.14π D.64π 变式. 一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个球的表面积是12π，那么这个正方体的体积是( ) A. B．4 C．8 D．24 二、有些三棱锥可以补体为长方体 1.三条侧棱（面）两两垂直的三棱锥的外接球 例2．已知三棱锥P­ABC中，PB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，PA＝，AB＝BC＝1，则三棱锥P­ABC 的外接球的表面积为(　　) A．12π B．6π C．24π D. 变式．球面上有四个点，若两两垂直，且，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 2.三对对棱对应相等的三棱锥的外接球 例3．在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B．100 C． D． 变式.在三棱锥中，,则三棱锥外接球的表面积为____________. 三、正棱锥的外接球 例4．在正四棱锥中，已知，若、、、、都在球的表面上,则球的表面积是四边形面积的（ ） A．2倍 B．倍 C．倍 D．倍 变式．正四棱锥的顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　) A．π B．16π C．9π D．π 四、侧棱与底面垂直的棱锥的外接球 例5.体积为的三棱锥P－ABC的顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，PA＝2，∠ABC＝120°，则球O的体积的最小值为(　　) A.π B.π C.π D.π 变式。已知，平面ABC，若，则四面体PABC的外接球（顶点都在球面上）的体积为（） A． B． C． D． 五、侧面与底面垂直的三棱锥的外接球 例6.三棱锥的一条长为，其余棱长均为，当三棱锥的体积最大时，它的外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 变式. 4.(2019·广州模拟)三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为(　　) A.23π B.π C.64π D.π 六、有两个侧面为有公共斜边的直角三角形的三棱锥 例7.在矩形ABCD中，,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角,则四面体ABCD的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 变式. 在矩形ABCD中，,沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥的外接球的表面积为_______. 七、三棱锥的内切球问题 例8．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥面ABCD，且PD＝1，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为________． 变式．已知球在底面半径为1､高为的圆锥内，则该圆锥内半径最大的球的体积为___________. 小试牛刀 1.已知正方体外接球的体积是π，那么正方体的棱长等于(　　) A．2 B. C. D. 2．若长方体的一个顶点上三条棱长分别为3，4，5．则长方体外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 3．将棱长为的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ） A． B． C． D． 4. 若一个正四面体的表面积为，其内切球的表面积为，则＝（ ） A. B. C. D. 5.已知菱形边长为2， ，将沿对角线翻折形成四面体，当四面体的体积最大时，它的外接球的表面积为__________． 6．已知三棱锥中，，，，，面面，则此三棱锥的外接球的表面积为（） A． B． C． D． 7.设正三棱锥的所有顶点都在球的球面上， ， 分别是， 的中点， ，且，则球的表面积为__________． 8．在三棱锥中，底面是以为斜边的直角三角形，且平面，若，，则三棱锥外接球的表面积为______. 9．三棱锥P­ABC的四个顶点均在同一个球面上，其中PA⊥平面ABC，△ABC是正三角形，PA＝2BC＝4，则该球的表面积为________． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $