专题01 巧求体积-2020-2021学年高中数学之立体几何解题技法全指导

巧求体积 对于空间几何体的体积的计算，只记住公式是远远不够的，还应把握图形的内在因素，灵活选择合理的方法加以求解。现结合实例说明如下： 1.公式法 公式法的思想是：根据题意直接套用体积计算公式，求出体积。 例1.圆锥的母线长为1,侧面展开图的圆心角为,该圆锥的体积是多少? 变式.已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面的面积之和，求棱台的高和体积． 2.作差法 作差法的思想是：将原几何体的体积转化为两个几何体体积的差，通过求体积差来计算原几何体的体积。 例2.如图，正方形ABCD的边长为a，BD是它的对角线，弧BD的圆心是A，半径为AB，将正方形ABCD以AB边为轴旋转一周，求图中I、II、III三部分旋转所得几何体的体积。 变式. 如图(单位：cm)，求下图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积． 3.割补法 割补法的思想是：通过分割或补形，将原几何体分割或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积。 例3.已知三棱锥A-BCD的表面积为S,其内有半径为r的内切球O（球O与三棱锥A-BCD的每个面都相切，即球心O到三棱锥A-BCD每个面的距离都为r），求三棱锥A-BCD的体积。 变式.如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，⊿ADE、⊿BCF均为正三角形，EF∥AB, ,则该多面体的体积为（ ） A. B. C. D. 4．等积变换法 等积变换法的思想是：从不同的角度看待原几何体，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，来求原几何体的体积。 例4.如图正方体的棱长为a，过顶点B、D、截下一个三棱锥。 ⑴求此三棱锥的体积； ⑵以为底面时，求此三棱锥的高。 变式.如右图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1­EDF的体积为________． 小试牛刀 1.圆台上、下底面面积分别是、，侧面积是，这个圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 2．如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为(　　)． A. B. C. D. 3.直三棱柱中，各侧棱和底面的边长均为，点是上任意一点， 连接，则三棱锥的体积为（ ） A B C D 4.若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为______. 5.如图，在四边形中，，，，，，，求四边形绕所在直线旋转一周所成几何体的表面积及体积. 6．如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72 cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)． 试求：(1)AD应取多长？(2)容器的容积． 7.一直三棱柱高为6 cm，底面三角形的边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，将该棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值． ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $ 巧求体积 对于空间几何体的体积的计算，只记住公式是远远不够的，还应把握图形的内在因素，灵活选择合理的方法加以求解。现结合实例说明如下： 1.公式法 公式法的思想是：根据题意直接套用体积计算公式，求出体积。 例1.圆锥的母线长为1,侧面展开图的圆心角为,该圆锥的体积是多少? 解:设圆锥的底面半径为r,圆锥母线长为1，又圆锥侧面展开图的圆心角为，。所以圆锥的高, . 变式.已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面的面积之和，求棱台的高和体积． 解：如右图所示，在三棱台ABC­A′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中心，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高， 所以S侧＝3××(20＋30)×DD′＝75DD′.又A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为S上＋S下＝×(202＋302)＝325(cm2)．由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝325， 所以DD′＝(cm)．又∵O′D′＝×20＝(cm)，OD＝×30＝5(cm)， ∴棱台的高h＝O′O＝＝ ＝4(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V＝(S上＋S下＋) ＝×(325＋×20×30)＝1 900(cm3