专题23二次函数与相似结合及存在型问题-备战2021年中考数学经典题型讲练案【全国通用】

备战2021年中考数学必考经典题型讲练案（全国通用） 专题23二次函数与相似结合及存在型问题 【方法指导】 1.三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 2.函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形；根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论； ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小； ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解. 【题型剖析】 【例1】（2020•铜仁市）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值； （3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标． 【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）过点P作PF∥y轴，交BC于点F，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，设点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），进而可得出PF的长度，利用三角形的面积公式可得出S＝﹣3m2+9m，配方后利用二次函数的性质即可求出△PBC面积的最大值； （3）分两种不同情况，当点M位于点C上方或下方时，画出图形，由相似三角形的性质得出方程，求出点M，点N的坐标即可． 【解析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+6， 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6． （2）过点P作PF∥y轴，交BC于点F，如图1所示． 当x＝0时，y＝﹣2x2+4x+6＝6， ∴点C的坐标为（0，6）． 设直线BC的解析式为y＝kx+c， 将B（3，0）、C（0，6）代入y＝kx+c，得： ，解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6． ∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动， ∴点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6）， ∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m， ∴SPF•OB＝﹣3m2+9m＝﹣3（m）2， ∴当m时，△PBC面积取最大值，最大值为． ∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动， ∴0＜m＜3． 综上所述，S关于m的函数表达式为＝﹣3m2+9m（0＜m＜3），S的最大值为． （3）存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似． 如图2，∠CMN＝90°，当点M位于点C上方，过点M作MD⊥y轴于点D， ∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM， ∴△MCD∽△NCM， 若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△OBC相似， 设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6）， ∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a， 当时，△COB∽△CDM∽△CMN， ∴， 解得，a＝1， ∴M（1，8）， 此时NDDM， ∴N（0，）， 当时，△COB∽△MDC∽△NMC， ∴， 解得a， ∴M（，）， 此时N（0，）． 如图3，当点M位于点C的下方， 过点M作ME⊥y轴于点E， 设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6）， ∴EC＝2a2﹣4a，EM＝a， 同理可得：或2，△CMN与△OBC相似， 解得a或a＝3， ∴M（，）或M（3，0）， 此时N点坐标为（0，）或（0，）． 综合以上得，存在M（1，8），N（0，）或M（，），N（0，）或M（，），N（0，）或M（3，0），N（0，），使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似． 【变式练习】（2020•成都）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△B