专题14压轴大题突破培优练（四）-2021年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练【江苏专用】

2020年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用） 专题14压轴大题突破培优练（四） 【题型说明】 本专题题型包括：新定义与材料阅读创新题、一次函数的实际问题、最优方案设计问题、一次函数与几何综合问题、反比例函数与一次函数综合问题、反比例函数与几何综合问题、二次函数的应用、二次函数综合问题、三角形综合题、四边形综合题、圆综合题、几何变换综合题等题型，共计20道大题. 【培优提升】 一．解答题（共25小题） 1．（2020•南京二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝8，CB＝6，动点P从C出发沿CA方向，以每秒1个单位长度的速度向A点匀速运动，到达A点后立即以原来速度沿AC返回；同时动点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长度向点B匀速运动，当Q到达B时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为t秒（t＞0）． （1）当t为何值时，PQ∥CB？ （2）在点P从C向A运动的过程中，在CB上是否存在点E使△CEP与△PQA全等？若存在，求出CE的长；若不存在，请说明理由； （3）伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D，交折线QB﹣BC﹣CP于点F．当DF经过点C时，求出t的值． 【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可； （2）根据全等三角形的性质得到∠PQA＝90°，根据相似三角形的性质求出PE，根据勾股定理计算； （3）分P由C向A运动和P由A向C运动两种情况，根据线段垂直平分线的性质、相似三角形的性质计算． 【解析】（1）如图1，CP＝AQ＝t，则AP＝8﹣t， 在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝10， ∵PQ∥CB， ∴，即， 解得，t， ∴当t时，PQ∥CB； （2）存在，如图2，由题意可知CP＝AQ＝t，又∵∠PCE＝90°， 要使△CEP与△PQA全等，只有∠PQA＝90°这一种情况， 此时CE＝PQ，PE＝AP， ∵△PQA∽△BCA， ∴，即， 解得，t， 则PE＝AP＝8﹣t， 在Rt△PCE中，由勾股定理可得CE； （3）①当P由C向A运动时，CQ＝CP＝AQ＝t， ∴∠QCA＝∠QAC， ∴∠QCB＝∠QBC， ∴CQ＝BQ＝t， ∴BQ＝AQAB， 即AB＝2t， 解得t＝5； ②如图3，当P由A向C运动时，过Q作QG⊥CB交CB于点G， CQ＝CP＝16﹣t，BQ＝10﹣t， 则，即， 解得，GQ（10﹣t）， 同理可求得BG（10﹣t）， ∴GC＝6（10﹣t）， 在Rt△CGQ中，由勾股定理可得：CG2+GQ2＝CQ2， 即[6（10﹣t）]2+[（10﹣t）]2＝（16﹣t）2， 解得t＝10， 综上可知满足条件的t的值为5和10． 2．（2020•南京二模）（1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10，在BC边上是否存在点P，使∠APD＝90°，若存在，请用直尺和圆规作出点P并求出BP的长．（保留作图痕迹） （2）如图②，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD是BC边上的高，E、F分别为AB，AC的中点，当AD＝6时，BC边上是否存在一点Q，使∠EQF＝90°，求此时BQ的长． 【分析】（1）以AB为直径作圆，交BC于P1，P2，点P1、P2为所求的点； （2）如图②中，因为EF分别为AB、AC的中点，推出EF∥BC，EFBC＝6，因为AD＝6，AD⊥BC，推出EF与BC间距离为3，推出以EF为直径的⊙O与BC相切，推出BC上符合条件的点Q只有一个，记⊙O与BC相切于点Q，连接OQ，过点E作EG⊥BC，垂足为G，想办法求出BQ即可； 【解析】（1）如图①所示，点P1、P2为所求的点； 在矩形ABCD中，连接AP1、DP1，AD＝BC＝10，AB＝CD＝4， 设BP1＝x，则P1C＝10﹣x， ∵∠AP1D＝90°， ∴∠AP1B+∠CP1D＝90°， ∵∠BAP1+∠AP1B＝90°， ∴∠BAP1＝∠CP1D， 又∵∠B＝∠C＝90°， ∴△ABP1∽△P1CD， ∴， ∴， 解得：x1＝2，x2＝8， ∴BP的长是2或8． （2）如图②中，∵EF分别为AB、AC的中点， ∴EF∥BC，EFBC＝6， ∵AD＝6，AD⊥BC， ∴EF与BC间距离为3， ∴以EF为直径的⊙O与BC相切， ∴BC上符合条件的点Q只有一个，记⊙O与BC相切于点Q， 连接OQ，过点E作EG⊥BC，垂足为G， ∴EG＝OE＝3， ∴四边形EOQG为正方形， 在Rt△EBG中，∠B＝60°，EG＝3， ∴BG， ∴BQ＝3． 3．（2020•秦淮区二模）数学概念 如图①，AE是△ABC的角平分线，D是直线BC上一点，如果点D满足DA＝DE，那么点D叫做△ABC的边BC上的“阿氏点”．