第2章 3 条件概率与独立事件-2020-2021学年高中数学选修2-3【导学教程】同步辅导（北师大）word

§3　条件概率与独立事件 ●趣味导入 在一次英语口试中，共有10道题可选择．从中随机地抽取5道题供考生回答，答对其中3道题即可及格．假设作为考生的你，只会答10道题中的6道题． 那么，你及格的概率是多少？在抽到的第1题不会答的情况下你及格的概率又是多少？ ●学案导引 知识点一 条件概率 理解 条件概率：已知B发生的条件下，A发生的概率称为B发生时A发生的条件概率，记作P(A|B)．当P(B)＞0时，P(A|B)＝(其中，A∩B也可以记成AB)．类似地，当P(A)＞0时，A发生时B发生的条件概率P(B|A)＝. ●思考探究 1．如何理解条件概率？ 提示　(1)事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的． (2)应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件上，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率． (3)已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间来计算AB发生的概率，即 P(B|A)＝＝＝. 2．条件概率具有哪些性质？ 提示　(1)条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1. (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 知识点二 事件的相互独立 掌握 1.A，B相互独立：对两个事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称A，B相互独立．如果A，B相互独立，则A与，与B，与也相互独立． 2．对多个事件，如果A1，A2，…，An相互独立，则有P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． ●思考探究 1．由P(AB)＝P(A)P(B)可以定义A，B相互独立，反之，由A，B相互独立能否推出P(AB)＝P(A)P(B)? 提示　能．结合条件概率的知识可知，P(AB)＝P(A)·P(B|A)，由于A，B相互独立，因此P(B|A)＝P(B)，故P(AB)＝P(A)P(B)． 2．相互独立事件与互斥事件有何区别？ 提示　(1)相互独立事件与互斥事件是两个不同的概念，前者是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，后者是指不可能同时发生的两个事件； (2)两个事件相互独立等价于P(AB)＝P(A)P(B)，而当两个事件互斥时，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，但由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)却不能得到两事件A与B互斥． 类型一　条件概率的计算 [例1]　(1)甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为 A．0.45　　　　　B．0.6 C．0.65　　　　　D．0.75[来源:Z*xx*k.Com] (2)在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为_________________． [思路导引]　(1)本题是在已知目标被击中，求它是被甲击中的概率，属于条件概率问题． (2)可以转化为古典概型求解；也可以利用条件概率求解． [自主解答]　(1)设“甲击中目标”为事件A，“目标被击中”为事件B，则所求概率为事件B发生的条件下A发生的条件概率，∴P(AB)＝0.6， P(B)＝0.6×0.5＋0.6×0.5＋0.4×0.5＝0.8， ∴P(A|B)＝＝＝0.75. (2)解法一　在第一次取到不合格品以后，由于不放回，故还有99件产品，其中4件次品，故第二次再次取到不合格产品的概率为. 解法二　第一次取到不合格品的概率为P1＝＝，两次都取到不合格产品的概率为P2＝＝，∴所求概率P＝＝＝. [答案]　(1)D　(2) [方法探究] 条件概率的求法 (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝.这是通用的求条件概率的方法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝. ●变式训练 1．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，求：(1)P(A|B)；(2)P(B|A)． 解析　根据题意有 P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝. (1)P(A|B)是指在刮风的条件下， 又下雨的概率P(A|B)＝＝＝. (2)P(B|A)是指在下雨的条件下， 又刮起风的概率P(B|A)＝＝＝. 类型二　相互独立事件的概率 [例2]　如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标有T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9.电流能否通过