第2章 4.2 简单幂函数的图象和性质-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word教参(北师大版)

4.2　简单幂函数的图象和性质 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解幂函数的概念．(重点) 2．掌握y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝的图象与性质．(重点) ，y＝x 3．掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题．(重点、难点) 1.借助幂函数的图象的学习，培养直观想象素养． 2．通过幂函数的性质的学习，培养逻辑推理素养． 1．幂函数的概念 形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数． 思考：y＝1是幂函数吗？ 提示：是．因为它可写成y＝x0的形式． 2．幂函数的图象 如图在同一坐标系内作出函数(1)y＝x；(2)y＝x；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象． 3．幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)； (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 1．已知幂函数f，则k＋α等于(　　)＝kxα的图象过点 A．　　　　D．2　　　　B．1　　　　C． C　[由幂函数的定义知k＝1.又f， ＝ 所以.]，从而k＋α＝，解得α＝＝ 2．函数y＝x的图象是(　　) A　　　B　　　C　　　　D B　[当0<x<1时，x<x，故选B.]>x；当x>1时，x 3．已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x(t∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增加的，则函数的解析式为________． f(x)＝x2　[∵f(x)是幂函数， ∴t3－t＋1＝1， 解得t＝－1或t＝0或t＝1. 当t＝0时，f(x)＝x是非奇非偶函数，不满足题意； 当t＝1时，f(x)＝x－2是偶函数，但在(0，＋∞)上是减少的，不满足题意； 当t＝－1时，f(x)＝x2，满足题意． 综上所述，实数t的值为－1， 所求解析式为f(x)＝x2.] 4．已知函数f(x)＝(2m－3)xm＋1是幂函数． (1)求m的值； (2)判断f(x)的奇偶性． [解]　(1)因为f(x)是幂函数，所以2m－3＝1， 即m＝2. (2)由(1)得f(x)＝x3，其定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，故f(x)是奇函数． 幂函数的概念 【例1】　在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　)，y＝ A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 [思路点拨]　从幂的系数、底数和指数三方面考察是否满足幂函数的定义． B　[因为y＝＝x－2，所以是幂函数；，y＝＝x y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数； y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数； y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0，1), 所以常函数y＝1不是幂函数．] 函数解析式中只有满足幂的系数为1，底数为自变量x，指数为常量这三个条件，才是幂函数．如：y＝3x2，y＝(2x)3都不是幂函数． 1．已知y＝(m2＋2m－2)x＋2n－3是幂函数，求m，n的值． [解]　由题意得 解得 所以m＝－3或1，n＝. 幂函数的图象及应用 【例2】　若点(.<g；(3)f＝g；(2)f>g的图象上，问当x为何值时，(1)f在幂函数g的图象上，点，2)在幂函数f [解]　设f＝x2.，解得α＝2，则f＝xα，则2＝ 同理可求得g＝x－2. 在同一坐标系内作出函数f＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得：＝x2和g (1)当x>1或x<－1时，f；>g (2)当x＝1或x＝－1时，f；＝g (3)当－1<x<1且x≠0时，f.<g 随着α的变化，其图象也随着变化，讨论其图象的特点时，可分0<α<1，α>1和α<0三种情况讨论． 2．当0<x<1时，函数f＝x－2的大小关系是________________．＝x0.9，h＝x1.1，g h.>f>g在(0，1)上的图象，由此可知，h，h，g　[如图所示为函数f>f>g ] 幂函数性质的应用 角度一　比较幂的大小 【例3】　比较下列各组数中两个数的大小： (1)与；(2)与 [解]　(1)∵0.3>0， ∴y＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数．又， > ∴.> (2)∵－1<0， ∴y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，又－， <－ ∴.> 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量． 3．比较下列各数的大小： (1)(－；)和(－) (2)4.1.和，3.8－ [解]　(1)函数y＝x， <－在(－∞