第2章 1 离散型随机变量及其分布列-2020-2021学年高中数学选修2-3【导学教程】同步辅导（北师大）word

§1　离散型随机变量及其分布列 ●趣味导入 某班的课外兴趣小组共有6人，每位同学都可以报名参加某市10月份举行的航模制作比赛．对于这次比赛，该兴趣小组成员报名参赛的人数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示． 那么，对于成员甲的报名参赛情况是否也可以用数字来表示呢？ ●学案导引 知识点一 离散型随机变量 理解 1.随机变量：将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量，通常用大写的英文字母如X，Y来表示．实际上，随机变量是从随机试验每一个可能的结果所组成的集合到实数集的映射． 2．离散型随机变量：若随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量． ●思考探究 1．一个随机试验简称试验应满足什么条件？ 提示　一般地，一个试验如果满足下列条件：①试验可在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验． 2．随机变量与函数的关系是怎样的？ 提示　随机变量和函数都是一种映射．随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫作随机变量的值域． 知识点二 离散型随机变量分布列 理解 离散型随机变量X的分布列：设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…，随机变量X取ai的概率为pi(i＝1,2，…)，记作：P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…)，或把上式列成表： X＝ai a1 a2 … P(X＝ai) p1 p2 … 则P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…)或列成的表称为离散型随机变量X的分布列，显然pi≥0，p1＋p2＋…＝1. ●思考探究 1．离散型随机变量X的分布列的意义是什么？ 提示　离散型随机变量X的分布列实质上就是随机变量X与这一变量所对应的概率P的分布表，它从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律． 2．离散型随机变量的分布列的表示方法有哪些？ 提示　①表格法：表格的形式，如定义中的表格． ②解析式法：P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n. ③图像法：例如，在掷骰子的试验中，掷出的点数X的分布列可用图像表示，如图所示． 类型一　随机变量的概念 [例1]　(1)下列变量中， 不是随机变量的是 A．2024年奥运会上中国运动员取得的金牌数 B．今后每一年从地球上消失的动物种类 C．2018年冬奥会上中国运动员取得的金牌数 D．某人将要投篮6次命中的次数 (2)下列各个量中， ①北京国际机场候机厅中2022年5月1日的旅客数量； ②2022年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数； ③2022年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间； ④体积为1 000 cm3的球的半径长． 是随机变量的有________． [思路导引]　(1)依据随机变量的定义判定．(2)依据定义，要判定所给的量是否随试验结果的变化而变化，发生变化的是随机变量． [自主解答]　(1)对于选项A，由于2024年奥运会还没有举行，中国运动员获得多少枚金牌并不知道，符合随机变量的定义；对于选项B，由于今后每年地球上消失的动物种类结果是不可预料的，也符合随机变量的定义；对于选项C,2018年冬奥会已经结束，中国运动员获得的金牌总数是确定的，不符合随机变量的定义，不是随机变量；对于选项D，某人投篮命中与否，在投篮之前并不知道其结果，因此它符合随机变量的定义． (2)①旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量． ②所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量． ③动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量． ④球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量． [答案]　(1)C　(2)①②③[来源:学*科*网] [方法探究] 随机变量的判断方法 (1)每一个试验的结果是随机的． (2)随机变量是随机试验结果到实数的映射． (3)可预先知道随机试验的所有结果，但在一次试验中不能确定究竟出现哪一个结果，变量会取哪一个值． ●变式训练 1．将一枚骰子抛掷两次，以下是随机变量的是 A．两次点数都小于7 B．第一次出现小于7的点，第二次出现大于7的点 C．两次出现的点数之和 D．两次都出现了小于1的点 解析　A的结果是必然的，B中第2次与D的结果是不可能的，不能成为随机变量，而选项C整体反映两次投掷结果，可以预见两次出现的点数之和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12这1