第1章 3 组合-2020-2021学年高中数学选修2-3【导学教程】同步辅导（北师大）word

§3　组合 ●趣味导入 某国际会议中心有A，B，C，D和E，共5种不同功能的会议室，且每种功能的会议室又有大、中、小和特小，共4种型号，总共20个会议室．现在有一个国际学术会议需要选择3种不同功能的6个会议室，并且每种功能的会议室选2个型号． 试问：会议中心的工作人员安排会议的方法有多少种？ ●学案导引 知识点一 组合的定义 理解 一般地，从n个不同的元素中，任取出m(m≤n)个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．把有关求组合的个数问题叫作组合问题．排列和组合都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关． ●思考探究 1．组合与排列的相同点和不同点是什么？ 提示　相同点：都是要从“n个不同元素中取出m个元素”； 不同点：组合是“不管顺序合成一组”，而排列是“按照一定顺序排成一列”．例如，火车票是排列问题，而票价是组合问题． 2．如何根据定义区分排列问题与组合问题？ 提示　根据排列与组合的定义，排列是从n个不同元素中选取m个不同元素后，还要按照一定的顺序排成一列，而组合只要从n个不同元素中选取m个不同元素合成一组，所以区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题． 知识点二 组合数与组合数公式 掌握 1.组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．若m，n∈N＋，且m≤n，则C＝＝. 2．从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n－m个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n－m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n－m个元素的组合数，即C＝C.规定C＝1. ●思考探究 1．组合与组合数有何区别？ 提示　同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念．“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素a，b，c中每次取出2个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3. 2．你能解释C与C＋C为什么相等吗？ 提示　在确定从n＋1个不同元素中取m个元素的方法时，对于某一元素，只存在着取与不取两种可能．如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出m－1个元素，所以共有C种；如果不取这一元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，所以共有C种．由分类加法计数原理得C＝C＋C. 类型一　组合定义及应用 [例1]　判断下列各事件是排列问题，还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数． (1)10个人相互各写一封信，共写了多少封信？ (2)10个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话？ (3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？ (4)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？ (5)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？ (6)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？ [思路点拨] [自主解答]　(1)是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为A＝90. (2)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为C＝45. (3)是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为C＝45. (4)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的，排列数为A＝90. (5)是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别，组合数为C＝120. (6)是排列问题．因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的，排列数为A＝720. [方法探究] 判断一个问题是排列问题还是组合问题的关键是正确区分事件有无顺序．区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果解出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化．若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题． ●变式训练 1．(1)从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合． (2)有下列问题： ①a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共有多少场？ ②a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？ 上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？ 解析　(1)要想写出所