第1章 2 二 排列的应用-2020-2021学年高中数学选修2-3【导学教程】同步辅导（北师大）word

二　排列的应用 ●趣味导入 请将“甲、乙、丙、丁”四个字分别填到下面的方格中，要求不论是横行、纵行，还是斜行每行都包括“甲、乙、丙、丁”四个字．[来源:Zxxk.Com] 问：共有多少种排列方法？ ●学案导引 知识点 排列问题的综合应用 掌握 1.排列应用题的最基本的解法： (1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素(又称元素分析法)；或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又称位置分析法)． (2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列数． 2．应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤： ●思考探究 解答简单排列问题的基本思路是什么？ 提示　解简单的排列应用题首先必须认真分析题意，看元素是否有序，弄清楚n个元素指的是什么，明确从n个不同元素中任取m个元素的每一个排列对应的是什么事情，最后用排列数公式求解即可．原则：分类用加法，分步用乘法． 类型一　排队问题[来源:学|科|网Z|X|X|K] [例1]　3个女生和5个男生排列一排． (1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？ (2)如果女生互不相邻，有多少种不同排法？ (3)如果女生不站两端，有多少种不同排法？ [思路导引]　解题时可先排特殊元素，再排一般元素． (1)相邻问题：把3个女生看成一个元素与其他元素排列． (2)不相邻问题：把3个女生排在5个男生之间的6个空位置中． (3)先将女生排在不在两端的6个位置上，然后再排男生．或将5个男生中选2人先排在两端． [自主解答]　(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起有6个元素，排成一排有A种排法，而其中每一种排法中，3个女生间又有A种排法，因此共有A·A＝4 320种不同排法． (2)(插空法)先排5个男生，有A种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A种排法，因此共有A·A＝14 400种不同排法． (3)解法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有A种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A种排法，因此共有A·A＝14 400种不同排法． 解法二(元素分析法)：从中间6个位置选3个安排女生，有A种排法，其余位置无限制，有A种排法，因此共有A·A＝14 400种不同排法． 解法三(间接法)：3个女生和5个男生排成一排共有A种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A·A种排法和女生排在末位的A·A种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有A·A种不同的排法，所以共有A－2AA＋AA＝14 400种不同的排法． [方法探究] 排队问题的解题策略 (1)“捆绑法”适用于元素相邻问题，即先将相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，再进行相邻元素的排列． (2)“插空法”适用于不相邻问题，先将不相邻元素以外的元素进行排列，再将不相邻元素插入已排元素空中． (3)“除阶乘法”适用于定序问题，即先将所有元素进行排列后，再除以定序元素的全排列数． ●变式训练 1．4个男同学和3个女同学站成一排． (1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ (2)任何2个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？ (3)其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的排法？ (4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？ (5)男生与女生相间排列的方法有多少种？ 解析　(1)3个女同学是特殊元素，优先安排，共有A种排法；由于3个女同学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有A种排法．由分步乘法计数原理，共有AA＝720种不同的排法． (2)先将男生排好，共有A种排法；再在这4个男生的中间及两头的5个空当中插入3个女生，有A种方案．故符合条件的排法共有AA＝1 440(种)． (3)甲、乙两人先排好，有A种排法；再从余下的5人中选3人排在甲、乙两人中间，有A种排法；这时把已排好的5人视为一个整体，与最后剩下的2人再排，又有A种排法；这样总共有AAA＝720种不同排法． (4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有A种排法；由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有A种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中，有A种排法；这样总共有AAA＝960种不同排法． (5)不妨先排男生，有A种排法，在4名男生间3个间隔共有3个位置安排3名女生，有A种，因此共有A·A种排法符合要求，故4名男生和3名女生相间排列的排法共有A·A＝144(种)． 类型二