第1章 1．1～1.2 分类加法计数原理 分步乘法计数原理(二)-2020-2021学年高中数学选修2-3【导学教程】同步辅导（北师大）word

1．1～1.2　分类加法计数原理　分步乘法计数原理(二) ●趣味导入 某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想先选定吉利号18，然后从01到17中选3个连续的号，从19至29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注．[来源:学科网ZXXK] 若这个人要把符合这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？ ●学案导引 知识点 两个计数原理的综合应用 掌握 1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题．其区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事．分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各步的每一种方法只能完成任务的一部分，并且完成这件事的任何一种方法都需要分步．只有各个步骤都完成之后才算做完这件事． 2．应用分类计数原理和分步计数原理的关键是弄清楚是“分类”还是“分步”，接下来还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准是什么． ●思考探究 1．“分类”和“分步”的依据是什么？ 提示　能否独立完成事件是区分“分类”还是“分步”的依据． 2．综合应用两个计数原理解决计数问题的方法是什么？ 提示　在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．简单地说“分类互斥”“分步互依”，关键是看能否独立完成这件事．与此同时还要注意分类、分步不能重复、不能遗漏．对于较为复杂的既要用分类加法计数原理，又要用分步乘法计数原理的问题，我们可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格，使问题的实质直观地显现出来，从而便于我们解题． 类型一　组数问题 [例1]　用0,1,2,3,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的(1)四位密码？(2)四位数？(3)四位奇数？ [思路点拨]　四位密码的首位可为0，四位数的首位不能为0，四位奇数的首位不为0且个位必须为奇数． [自主解答]　(1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分为四步：第一步，选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步，选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步，选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步，选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法．由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位密码共有N＝5×4×3×2＝120(个)． (2)完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步：第一步，从1,2,3,4中选取一个数字作千位数字，有4种不同的选取方法；第二步，从1,2,3,4中剩余的三位数字和0共四个数字中选取一个数字作百位数字，有4种不同的选取方法；第三步，从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种不同的选取方法；第四步，从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种不同的选取方法．由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位数共有N＝4×4×3×2＝96(个)． (3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步： 第一步定个位，只能从1,3中任取一个有两种方法，第二步定首位，把1,2,3,4中除去用过的一个还有3个可任取一个有3种方法，第三步、第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位3种方法，再排十位有2种方法．由分步乘法计数原理共有2×3×3×2＝36(个)． [方法探究] 对于组数问题的计数，一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，每类中再按特殊位置(或元素)优先的方法分步来计数．当分类较多时，可用间接法． ●变式训练 1．我们把个位数比十位数小的两位数称为“和谐两位数”，则由1,2,3,4四个数组成的两位数中，“和谐两位数”有________个． 解析　(1)当个位数为1时，十位数可以是2,3,4任意一个，有3种选法； 当个位数为2时，十位数可以是3,4任意一个，有2种选法； 当个位数为3时，十位数只能是4，有1种选法； 由分类加法计数原理，满足条件的“和谐两位数”有 3＋2＋1＝6(个)． 答案　6 类型二　几何元素的计数问题 [例2]　在平面直角坐标系xOy中，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，共有多少个矩形？[来源:学&科&网] [思路点拨]　本题考查两个计数原理，若利用分类加法计数原理，要找准分类标准，即以所构成矩形中所含“小正方形”的个数进行分类．若用分步乘法计数原理，则从与x轴平行的直线中任取2条，再从与y轴平行的直线中任取2条即可构成矩形，分为两步． [自主解答]　解法一　对所构成的矩形所含“小正方形”的个数进行分类：①含1个：25个；②含2个：20＋20＝40(个)；③含3个：15＋15＝30(个)；④含4个：20＋16＝36(个)；⑤含5个：10个；⑥含6个：12＋