第一章 数列 章末整合提升-2020-2021学年高中数学必修5【导学教程】同步辅导（北师大版）word

答案　①解析法　②有穷数列　③递减数列　④常数列　⑤递减　⑥an＝a1＋(n－1)d　⑦Sn＝na1＋d ⑧a1>0，0<q<1　⑨an＝a1qn－1　⑩ ——————————————————————————————————————————————————— 　(1)已知数列{an}对任意的n∈N＋，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为 A．公差为2的等差数列　　 B．公差为1的等差数列 C．公差为－2的等差数列 D．非等差数列 (2)设数列{an}满足：a1＝3，an＋1＝3an，n∈N＋. ①求{an}的第4项a4及前5项和S5； ②设数列{bn}满足： b1＝1，bn－1＝，Tn＝b1＋b2·3＋b3·32＋…＋bn·3n－1，证明：数列{4Tn－3n·bn}为等差数列． 【解析】　(1)∵点Pn(n，an)在直线y＝2x＋1上，则 an＝2n＋1，∴{an}为公差为2的等差数列，故选A. (2)①∵an＋1＝3an，又a1＝3， ∴＝3， ∵{an}是首项为3，公比为3的等比数列， ∴an＝3n，a4＝34＝81. Sn＝＝(3n－1)， S5＝(35－1)＝363. ②∵Tn＝b1＋b2·3＋b3·32＋…＋bn·3n－1， Tn－1＝b1＋b2·3＋b3·32＋…＋bn－1·3n－2， Tn－Tn－1＝bn·3n－1， ∴4Tn－3n·bn－(4Tn－1－3n－1·bn－1) ＝4Tn－3n·bn－4Tn－1＋3n－1·bn－1 ＝4bn·3n－1－3·3n－1·bn＋3n－1·bn－1 ＝3n－1·bn＋3n－1·bn－1＝3n－1(bn＋bn－1) ＝3n－1· ＝3n－1·＝3n－1· ＝. ∴数列{4Tn－3n·bn}为等差数列． ●方法技巧 判定一个数列是等差或等比数列的方法 定义法 an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列 ＝q(非零常数)⇔{an}是等比数列 中项公式法 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}是等差数列 a＝anan＋2(an＋1anan＋2≠0)⇔{an}是等比数列 通项公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列 an＝cqn(c，q均为非零常数)⇔{an}是等比数列 前n项和公式 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列 Sn＝kqn－k(k为常数，且q≠0，k≠0，q≠1)⇔{an}是等比数列 [提醒]　在解答题中证明一个数列是等比(或等差)数列通常用定义法和中项公式法，通项公式法和前n项和公式法常在小题或分析题意时应用． 　(1)已知数列{an}的前n项的乘积为Tn＝5n2，n∈N＋，则数列{an}的通项公式为________． (2)已知数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an，求数列{an}的通项公式为________． 【解析】　(1)当n≥2时，an＝＝＝52n－1，当n＝1时，a1＝T1＝5，满足上式，∴an＝52n－1. (2)∵anan－1＝an－1－an，∴－＝1.[来源:学科网] ∴数列是以＝2为首项，1为公差的等差数列，∴＝2＋n－1＝n＋1. ∴＝n＋1，∴an＝. 【答案】　(1)an＝52n－1　(2)an＝[来源:学科网ZXXK] ●方法技巧 求数列通项公式的常用方法 数列的通项公式是数列的核心内容，由数列的通项公式可以求出任一项与前n项和，因此，数列的通项公式往往是解题的突破口，求数列的通项公式可以归纳为以下几类： 1．已知数列的前几项求通项； 2．已知数列的前n项和或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解； 3．已知数列的递推关系求通项． 　(1)数列{an}为等差数列，a1，a2，a3为等比数列，a5＝1，则a10＝________． (2)已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和． ①求an及Sn； ②设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q2－(a4＋1)q＋S4＝0，求{bn}的通项公式及其前n项和Tn. 【解析】　(1)∵a1，a2，a3为等比数列，则a＝a1a3， 又∵{an}为等差数列，则(a1＋d)2＝a1(a1＋2d)， 得d＝0，又∵a5＝1，∴a10＝1. (2)①∵{an}是首项为1，公差为2的等差数列， ∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1. 故Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＝＝n2. ②由①得a4＝7，S4＝16.∵q2－(a4＋1)q＋S4＝0， 即q2－8q＋16＝0， ∴(q－4)2＝0，∴q＝4. 又∵b1＝2，{bn}是公比为4的等比数列， ∴bn＝b1qn－1＝2·4n－1. 从而{bn}的前n项和Tn＝＝(4n－1)． ●方法技巧 对等差