第一章 §4 数列在日常经济生活中的应用-2020-2021学年高中数学必修5【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§4　数列在日常经济生活中的应用 [课标解读] 1．了解银行储蓄和贷款的相关知识． 2．能建立数学模型来解决数列实际应用问题．(重点) [教材梳理] 单利和复利 单利 单利的计算是仅在原有酬金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为利息＝本金×利率×存期 若以符号p代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和，则有S＝p(1＋nr) 复利 把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝p(1＋r)n [要点探究] ►知识点　单利和复利 2020年5月某人存入银行1 000元，年利率为3.50%. [探究1]　如果按照单利，第五年末的本利和是多少？ 提示　本利和为1 000＋1 000×3.50%×5＝1 175(元)． [探究2]　如果按照复利，第五年末的本利和是多少？ 提示　设各年的本利和构成数列{an}， a0＝1 000，r＝3.50%，a1＝1 000×1.035，a2＝1 000×1.0352，…，a5＝1 000×1.0355≈1 187.7(元). 　某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问：分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套住房实际花了多少钱？ 【尝试解答】　因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，则每次付款的数额顺次构成数列{an}． 则a1＝50＋1 000×1%＝60， a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5， a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59， a4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5， …… ∴an＝50＋[1 000－50(n－1)]×1% ＝60－(n－1)(1≤n≤20，n∈N＋)． ∴{an}是以60为首项，－为公差的等差数列， ∴a10＝60－9×＝55.5. ∴第10个月应付55.5(万元)． a20＝60－19×＝50.5. ∴S20＝×(a1＋a20)×20 ＝10×(60＋50.5)＝1 105. ∴实际共付1 105＋150＝1 255(万元)． 【答案】　第10个月应付55.5万元　实际花了1 255万元 ●方法技巧 分期付款是一种常见的付款方式，与存款中的“零存整取”，都属于等差数列模型．解题的关键是确定首项、公差、项数． 1．某人从1月起每月第一天存入100元，到12月最后一天取出全部本金和利息，已知月利率是0.165%，按单利计息，那么实际取出多少钱？(注：应纳税额＝利息金额×税率，其中税率为5%) 解析　实际取出的钱等于：本金＋利息－纳税额． 第1个月存款利息：100×12×0.165%， 第2个月存款利息：100×11×0.165%， … 第11个月存款利息：100×2×0.165%， 第12个月存款利息：100×1×0.165%， ∴S12＝100×12×0.165%＋100×11×0.165%＋…＋100×2×0.165%＋100×1×0.165% ＝100×0.165%(1＋2＋3＋…＋12) ＝100×0.165%×＝12.87. 应纳税：12.87×5%＝0.643 5， ∴实际取出100×12＋12.87－0.643 5＝1 212.226 5(元)． 答案　1 212.226 5 　某家用电器一件现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一个月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，每次付款数相同，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812≈1.1) 【尝试解答】　设每期还款数为x元，第k个月末还款后的本利欠款数为Ak元，则A1＝2 000×(1＋0.008)－x＝2 000×1.008－x， A2＝A1×(1＋0.008)－x＝2 000×(1＋0.008)2－1.008x－x＝2 000×1.0082－1.008x－x， A3＝A2(1＋0.008)－x＝2 000×1.0083－1.0082x－1.008x－x，…， A12＝2 000×1.00812－1.00811x－1.00810x－…－1.008x－x＝2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1.008＋1)x. 由题意年底还清，所以A12＝0， 解得x＝ ≈＝176(元)，所以每期应付款176元． 【答案】　176元 ●方法技巧 解数列应用题的思路和方法 2．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N＋)等于______