第一章 §3-§3.2 等比数列的前n项和-2020-2021学年高中数学必修5【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§3.2　等比数列的前n项和 [课标解读] 1．理解并掌握等比数列的前n项和公式及推导过程．(难点) 2．掌握等比数列前n项和公式，并能应用解有关问题．(重点) 3．会求简单数列的和．(难点) [教材梳理] 1．等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数[来源:学&科&网Z&X&X&K] 首项、末项与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝ 2.项的个数的“奇偶”性质 在等比数列{an}中，公比为q. (1)若共有2n项，则S偶∶S奇＝q； (2)若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝，(q≠1且q≠－1)． 3．片段和性质 等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(当q＝－1，n为偶数时，上述性质不成立)，公比为qn． [要点探究] ►知识点一　等比数列的前n项和 根据等比数列前n项和的推导过程，思考下面的问题： 设等比数列{an}的前n项和为Sn＝a1＋a2＋…＋an， 即Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.① ①式的两边同乘以q，得 qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn.② ①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn， 当q≠1时，得Sn＝. [探究1]　(1)①式两边为什么要同乘以q? 提示　根据等比数列的定义，①式两边同乘以q，可以使所得到的式子与①式有若干共同的项，使得作差后能消去若干项，得到有限项，从而求出数列的前n项和． (2)在推导Sn＝(q≠1)的过程中，限制了q≠1，当q＝1时，Sn等于多少呢？ 提示　当q＝1时，数列中的每一项都相等，所以其前n项和Sn＝na1. [探究2]　在利用等比数列前n项和公式求和时，根据题设条件如何选用公式？ 提示　当已知a1，q，n，时，选用公式Sn＝(q≠1)；当已知a1，an，q时，选用公式Sn＝(q≠1)． ►知识点二　等比数列前n项和的性质 根据Sn＝＝－qn(q≠1)探究以下问题： [探究1]　一个数列{an}的前n项和写成Sn＝Aqn＋B(q≠1)，若此数列是等比数列，则A＋B＝0吗？反之成立吗？ 提示　A＋B＝0，反之也成立．因为Sn＝＝－·qn，则常数项与qn的系数互为相反数，即A＋B＝0.反之，若A＋B＝0，则数列是等比数列．当n＝1时，a1＝S1＝Aq＋B＝A(q－1)． 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝Aqn－Aqn－1＝(q－1)·Aqn－1， 又∵a1＝A(q－1)满足an＝(q－1)Aqn－1， ∴an＝A(q－1)qn－1，∴{an}是等比数列． [探究2]　若数列{an}为等比数列，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k(其中Sk，S2k－Sk，S3k－S2k均不为零)成等比数列吗？若成等比数列，公比为多少？ 提示　Sk＝a1＋a2＋…＋ak， S2k－Sk＝ak＋1＋ak＋2＋…＋a2k＝qk(a1＋a2＋…＋ak)， S3k－S2k＝a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k＝q2k(a1＋a2＋…＋ak)， 显然Sk，S2k－Sk，S3k－S2k也成等比数列，且新等比数列首项为Sk，公比为qk. 题型一　与等比数列前n项和有关的基本运算 　在等比数列{an}中， (1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n. (2)若q＝2，S4＝1，求S8. (3)(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1， a5＝4a3. ①求{an}的通项公式； ②记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m. 【尝试解答】　(1)由Sn＝，an＝a1qn－1以及已知条件得 由②得a1·2n＝192， ∴2n＝. 由①得189＝a1(2n－1)＝a1，[来源:学|科|网Z|X|X|K] ∴a1＝3. 又∵2n－1＝＝32，∴n＝6. (2)解法一　设首项为a1. ∵q＝2，S4＝1， ∴＝1，即a1＝. ∴S8＝＝＝17. 解法二　S4＝＝1， ∴S8＝＝＝S4(1＋q4) ＝1×(1＋24)＝17. (3)①设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1. ②若an＝(－2)n－1，则Sn＝. 由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数根． 若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6. 综上，m＝6. ●方法技巧 Sn＝＝(q≠1)为等比数列的求和公式，其中涉及a1，an，Sn，n，q五个量，已知其中三个，即可求另外两个，方法是解方程组，这也是等比数列的基本问题．当已知首项a1、公比q及项数n时，用公式Sn＝；当已知首项a1、末项an及公比q时，用公式Sn＝.另外在这两个公式中必须强调公比q≠1，若公比q＝1，则数列为非零常数列