第一章 §2-§2.1 第一课时　等差数列的概念及通项公式-2020-2021学年高中数学必修5【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§2　等差数列 §2.1　等差数列 第一课时　等差数列的概念及通项公式 [课标解读] 1．理解等差数列的概念．(重点、难点) 2．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识并能运用．(重点) [教材梳理] 1．等差数列的定义 条件 (1)从第2项起． (2)每一项与它的前一项的差都等于同一个常数. 结论 这个数列就叫作等差数列． 有关概念 这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d表示. 2.等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋)． 3．等差中项 若a，A，b成等差数列，则A叫a与b的等差中项，且A＝． [要点探究] ►知识点一　等差数列的定义 观察下列几个实例，探究以下问题： (1)2，4，6，8，10，12，… (2)1，1，1，1，1，1，… (3)1，3，5，7，9，11，… [探究1]　请观察(1)～(3)中的数列，它们中的每个数列从第二项起每一项与前一项的差具有什么特点？ 提示　观察这三个实例可以看出，(1)(3)中的差都是2，(2)中的差是0. [探究2]　在探究1的基础上，你能用数学符号表示它们之间的关系吗？ 提示　可表示为an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)． [探究3]　(2)中的数列是常数列，考虑是否所有的常数列都是等差数列？ 提示　是，根据等差数列的特点可知，所有的常数列都是等差数列． ►知识点二　等差数列的通项公式及等差中项 结合等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，探究下列问题： [探究1]　如何推导等差数列的通项公式？ 提示　通项公式常用的推导方法： 方法一(叠加法)：因为{an}是等差数列， 所以an－an－1＝d，an－1－an－2＝d，an－2－an－3＝d，…， a3－a2＝d，a2－a1＝d. 将以上各式相加得：an－a1＝(n－1)d， 所以an＝a1＋(n－1)d. 方法二(迭代法)：因为{an}是等差数列， 所以an＝an－1＋d＝an－2＋d＋d＝an－2＋2d＝an－3＋3d＝…＝a1＋(n－1)d. 即an＝a1＋(n－1)d. 方法三(逐差法)：因为{an}是等差数列，则有 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1＝a1＋(n－1)d. [探究2]　利用数列的通项公式如何建立数列任意两项之间的关系？ 提示　在等差数列{an}中，若m，n∈N＋， 则an＝am＋(n－m)d. 推导如下：因为对任意的m，n∈N＋，在等差数列中，有am＝a1＋(m－1)d，① an＝a1＋(n－1)d，② 由②－①得an－am＝(n－m)d， 所以an＝am＋(n－m)d. [探究3]　若A＝，则a，A，b是否成等差数列？若一个数列任意相邻的三项都具有这种关系，结果怎样？ 提示　若A＝，则a＋b＝2A，A－a＝b－A， 则a，A，b成等差数列，反之也成立． 若an＋1＝(an＋an＋2)，则an＋1是它的前一项an与后一项an＋2的等差中项，由n的任意性可得，数列{an}是等差数列. 　(1)已知数列{an}为等差数列且a5＝11，a8＝5，求an； (2)求等差数列10，8，6，…的第20项； (3)100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由． 【尝试解答】　(1)设数列{an}的公差为d. 由等差数列的通项公式及已知条件可得： 解得 ∴an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21. (2)由于a1＝10，d＝8－10＝－2， ∴an＝10＋(n－1)×(－2)＝－2n＋12. ∴a20＝－2×20＋12＝－28. (3)由于a1＝2，d＝9－2＝7，∴an＝2＋(n－1)×7＝7n－5. 由7n－5＝100，得n＝15. ∴100是这个数列的第15项． 【答案】　(1)an＝－2n＋21　(2)－28　(3)100是这个数列的第15项 ●方法技巧 这类问题是等差数列的最基本问题．在等差数列中，首项a1和公差d是两个基本量，有关等差数列的计算问题，可以利用a1和d作桥梁，建立关于a1和d的方程组求解，这是解决等差数列问题的基本方法． 1．(1)(2018·北京)设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为________． (2)已知数列{an}为等差数列，且a3＝，a7＝－，求a15的值． 解析　(1)设等差数列的公差为d，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝6＋5d＝36，∴d＝6，∴an＝3＋(n－1)·6＝6n－3.(n∈N＋) (2)解法一　由 得 解得a1＝，d＝－. ∴a15＝a1＋(15－1)d ＝＋14×＝－. 解法二　由a7＝a3＋(7－3)d， 即－＝＋4d，解得d＝－. ∴a15＝a3＋(15－